Karakteristieke functie (kansrekening)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De karakteristieke functie van een stochastische variabele X is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële t gegeven wordt door :

\varphi_X(t) = {\mathrm E}\left(e^{itX}\right).

Er is een eeneenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van X, dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

\operatorname{E}\left(e^{itX}\right)  = \int_{-\infty}^\infty e^{itx}\ dF_X(x),

waarin F_X de verdelingsfunctie van X is.

Als X de kansdichtheid f_X heeft, gaat deze integraal over in:

\int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x)\ dx\,

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op \mathbb R of \mathbb R^n gedefinieerd is.

Voorbeelden[bewerken]

Normale verdeling[bewerken]

Voor de normale verdeling met parameters μ en σ is de karakteristieke functie:

\varphi_X(t) = \frac 1{ \sigma\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^\infty e^{itx} e^{-\frac 12 (\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \mathrm{d}x = e^{i\mu t-\frac 12\sigma t^2}.

Exponentiële verdeling[bewerken]

Voor de exponentiële verdeling met parameter λ is de karakteristieke functie:

\varphi_X(t) = \lambda \int_0^\infty e^{itx} e^{-\lambda x} \mathrm{d}x = \frac{\lambda}{\lambda-it}

Eigenschappen[bewerken]

De karakteristieke functie is continu in de parameter t. Ze neemt steeds de waarde 1 aan in t=0.

Voor elk positief geheel getal n, elk stel van n reële getallen t1,...,tn en n complexe getallen z1,...,zn geldt

\sum_{i,j=1}^nz_i\overline z_j\varphi_X(t_j-t_i)\geq0

Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie f(t) de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.

Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen X en Y geldt:

  • |\varphi_X(t)|\leq\varphi_X(0)=1 (begrensd)
  • \varphi_{aX+b}(t)=e^{\mathrm{i}tb}\varphi_X(at) (lineaire transformatie)
  • \varphi_{X+Y}(t)=\varphi_{X}(t)\ \varphi_{Y}(t) (convolutie)

Als X een dichtheid fX heeft:

  • f_X(x) =  \frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^\infty e^{-\mathrm{i}tx}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t (omkeerformule)


De karakteristieke functie is verwant met een aantal andere integraaltransformaties in de kansrekening, zoals de momentgenererende functie en de kansgenererende functie.