Faculteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000

Voor een natuurlijk getal n is n faculteit, genoteerd n!, gedefinieerd als

$n!=\prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n$ ,

het product van de getallen van 1 tot en met n. Per definitie geldt dat 0! = 1.

De faculteitsfunctie groeit snel, sneller zelfs dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden (plus nul) staan hiernaast.

[bewerk] Gebruik

De faculteit wordt frequent gebruikt in de combinatoriek; als antwoord op de vraag op hoeveel manieren je n elementen kunt rangschikken: er zijn daar n! mogelijkheden voor. Dit is een permutatie van n elementen uit n. Verder komt de faculteit ook terug bij het berekenen van combinaties: op hoeveel manieren kan je m elementen uit n elementen kiezen (waarbij de volgorde geen belang heeft); oplossing voor dit probleem is:

$C_n^m={n\choose m}$ , zijnde $\frac{n!}{m! (n-m)!}$ mogelijkheden.

[bewerk] Continu veralgemening

De gammafunctie

$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

$\!\Gamma(n+1) = n!$ .

Het belangrijkste verschil is dat de gammafunctie gedefiniëerd is voor alle complexe getallen, met uitzondering van de negatieve gehele getallen -1, -2, -3, ... .

[bewerk] Benadering

n	n!	benadering door Stirling
10	3.628.800	3.598.695,624
20	0,24329 · 10¹⁹	0,2422 · 10¹⁹
30	0,26525 · 10³³	0,2645 · 10³³
40	0,8159 · 10⁴⁸	0,8142 · 10⁴⁸
50	0,3041 · 10⁶⁵	0,3036 · 10⁶⁵
100	0,9333 · 10¹⁵⁸	0,9325 · 10¹⁵⁸
1000	4,024 · 10²⁵⁶⁷	4,024 · 10²⁵⁶⁷
10.000	2,846 · 10^35.659	2,846 · 10^35.659