Gebruiker:Madyno/Kladblok/Voorbeelden

Principe

Een cosinustransformatie drukt de rij van $N$ data

$x=(x_{0},\ldots ,x_{N-1})$

uit als lineaire combinatie van discrete functies $C_{k}$ op het interval $[0,\pi ]$:

$x_{n}=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}c_{k,n}$ voor $n=0,\ldots ,N-1$

met $c_{k,n}=C_{k}(t_{n})$ en $(t_{n})$ een rij equidistante deelpunten van $[0,\pi ]$. De cosinustransformatie ontleent zijn naam aan de keuze van, op een weegfactor na, cosinussen voor de functies $C_{k}$:

$C_{k}(t_{n})=\gamma _{k}\cos(kt_{n})$

Er zijn verschillende keuzes mogelijk voor de cosinussen, wat leidt tot de transformaties DCT-I, DCT-II, DCT-III en DCT-IV.

DCT-I

De transformatie DCT-I is

$X_{m}={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{m}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left({\frac {\pi }{N-1}}mn\right)\quad \quad m=0,\ldots ,N-1$

met de keuze

$c_{m,0}={\tfrac {1}{2}},\quad c_{m,N-1}=(-1)^{m}{\tfrac {1}{2}}$

en

$c_{m,n}=\cos \left(mn{\frac {\pi }{N-1}}\right)\quad \quad n=1,\ldots ,N-2$

De DCT-I is op een factor $2/N$ na z'n eigen omgekeerde.

DCT-II

De gebruikelijke vorm van de cosinustransformatie is de DCT-II. Voor het bepalen van de getransformeerde wordt het interval $[0,\pi ]$ opgedeeld in $N$ gelijke delen. De cosinussen worden geëvalueerd in de middens van de deelintervallen, dus

$c_{m,n}=\cos \left(m\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)$

De DCT-II is dus gedefinieerd door:

$X_{m}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left(m\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)$ voor $m=0,\ldots ,N-1$.

DCT-III

De DCT-III is op een factor $2/N$ na de omgekeerde van de DCT-II. De coëfficiënten zijn:

$c_{m,0}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cos(0)$

$c_{m,n}=\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)n{\frac {\pi }{N}}\right)$ voor $n=0,\ldots ,N-1$.

De DCT-III is dus gedefinieerd door:

$X_{m}={\tfrac {1}{2}}x_{0}+\sum _{n=1}^{N-1}x_{n}\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)n{\frac {\pi }{N}}\right)$ voor $m=0,\ldots ,N-1$.

DCT-IV

Bij deze vorm van de discrete cosinustransformatie zijn de coëfficiënten:

$c_{m,n}=\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)$

De DCT-IV is dus gedefinieerd door:

$X_{m}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)$ voor $m=0,\ldots ,N-1$.

De DCT-IV is op een factor $2/N$ na z'n eigen omgekeerde.

Orthogonaliteit

De functies $C_{k}$ vormen een orthogonaal stelsel ten opzichte van het inproduct voor rijen $a=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})$:

$\langle a,b\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}a_{n}b_{n}={\tfrac {1}{2}}a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N-2}a_{n}b_{n}+{\tfrac {1}{2}}a_{N-1}b_{N-1}$

Dat houdt in dat:

$\langle C_{i},C_{j}\rangle =0$ voor $i\neq j$

Verder is:

$\langle C_{0},C_{0}\rangle =\langle C_{N-1},C_{N-1}\rangle =N-1$

$\langle C_{k},C_{k}\rangle ={\tfrac {N-1}{2}}$ voor $0<k<N-1$

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

DCT-I

Orthogonaliteit:

Gekozen: $t_{n}=n\pi /(N-1)$:

$C_{k}(t_{n})=\cos(nk\pi /(N-1))=c_{kn}$

Bewijs

$\langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}c_{m0}c_{k0}+\sum _{n=1}^{N-2}c_{mn}c_{kn}+{\tfrac {1}{2}}c_{m,N-1}c_{k,N-1}=$

$={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left(mnh\right)\cos \left(knh\right)=$

$={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N-2}{\big (}\cos((m+k)nh)+\cos((m-k)nh){\big )}$

Noem

$S_{k}=\sum _{n=1}^{N-2}\cos(knh)$

Dan

$2S_{k}\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=2\sum _{n=1}^{N-2}\cos(knh)\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=$

$=\sum _{n=1}^{N-2}\sin(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)-\sin(k(n-{\tfrac {1}{2}})h)=$

$=\sin(k(N-{\tfrac {3}{2}})h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=$

$=\sin(k(N-1)h)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(k(N-1)h)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)$

$=-\cos(k\pi )\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)$

dus

$S_{k}=-{\tfrac {1}{2}}\cos(k\pi )-{\tfrac {1}{2}}={\begin{cases}-1{\text{ voor }}k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}k{\text{ oneven}}\end{cases}}$

zodat

$\langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}(S_{m+k}+S_{|m-k|})={\begin{cases}0{\text{ voor }}m+k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}m+k{\text{ oneven}}\end{cases}}$

DCT-II

Orthogonaliteit:

Gekozen: $t_{n}=(n+{\tfrac {1}{2}})h=(n+{\tfrac {1}{2}})\pi /N$:

$C_{k}(t_{n})=\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}})\pi /N)=c_{kn}$

Bewijs

$\langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}c_{m0}c_{k0}+\sum _{n=1}^{N-2}c_{mn}c_{kn}+{\tfrac {1}{2}}c_{m,N-1}c_{k,N-1}=$

$={\tfrac {1}{2}}{\big (}\cos(m{\tfrac {1}{2}}\pi /N)\cos(k{\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos(m(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N)\cos(k(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N){\big )}+$

$+\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left(m(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)\cos \left(k(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)=$

$={\tfrac {1}{3}}{\big (}\cos((m+k){\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos((m-k){\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos((m+k)(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N)+\cos((m-k)(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N){\big )}+$

$+\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left((m+k)(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)+\cos \left((m-k)(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)=$

Noem

$S_{k}=\sum _{n=1}^{N-2}\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)$

Dan

$2S_{k}\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=2\sum _{n=1}^{N-2}\cos(knh)\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=$

$=\sum _{n=1}^{N-2}\sin(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)-\sin(k(n-{\tfrac {1}{2}})h)=$

$=\sin(k(N-{\tfrac {3}{2}})h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=$

$=\sin(k(N-1)h)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(k(N-1)h)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)$

$=(\sin(kNh)\cos(kh)-\cos(kNh)\sin(kh))\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-(\cos(kNh)\cos(kh)+\sin(kNh)\sin(kh))\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)$

$=-\cos(kNh)\sin(kh)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(kNh)\cos(kh)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)$

$=-\cos(k\pi )\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)$

dus

$S_{k}=-{\tfrac {1}{2}}\cos(k\pi )-{\tfrac {1}{2}}={\begin{cases}-1{\text{ voor }}k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}k{\text{ oneven}}\end{cases}}$

zodat

$\langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}(S_{m+k}+S_{|m-k|})={\begin{cases}0{\text{ voor }}m+k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}m+k{\text{ oneven}}\end{cases}}$

cosinustrafo

$x:[0,\pi ]\to \mathbb {R}$

$N;t_{n}=n{\frac {\pi }{N}},\ n=0,1,\ldots ,N$

$m_{n}=(n-{\tfrac {1}{2}}){\frac {\pi }{N}},\ n=1,\ldots ,N$

$\mathrm {I} :\quad x_{n}=x(t_{n}),\ n=0,1,\ldots ,N$

$\mathrm {II} :\quad x_{n}=x(m_{n}),\ n=1,\ldots ,N$

$C_{k}(t)=\cos(kt),\ n=0,1,\ldots ,N$

$\mathrm {I} :\quad c_{n,k}=C_{k}(t_{n}),\ n,k=0,1,\ldots ,N$

$x_{n}=\sum _{k=0}^{N}c_{n,k}X_{k},\ n=0,1,\ldots ,N$

$X_{k}=\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\tilde {c}}_{n,k},\ k=0,1,\ldots ,N$

$x^{*}(t)=\sum _{k=0}^{N}C_{k}(t)X_{k}$

$C_{k}(-t_{n})=\cos(-kt_{n})=\cos(kt_{n})=C_{k}(t_{n})$

$\mathrm {II} :\quad c_{n,k}=C_{k}(m_{n}),\ n,k=1,\ldots ,N$

$x_{n}=\sum _{k=1}^{N}c_{n,k}X_{k},\ n=1,\ldots ,N$

$X_{k}=\sum _{n=1}^{N}x_{n}{\tilde {c}}_{n,k},\ k=1,\ldots ,N$

$C_{k}(-t)=\cos(-kt)=\cos(kt)=C_{k}(t)$

Lineaire algebra

Data

$x=(x_{0},\ldots ,x_{N})$

vector in $\mathbb {R} ^{N+1}$

orthogonaal stelsel (tov??)

$c_{k}=(c_{k0},\ldots ,c_{kN}),\quad k=0,\ldots N$

is volledig en o.o. en vormt dus een basis Dus zijn er

$X_{0},\ldots ,X_{N}$

zo, dat

$x_{n}=\sum _{k=0}^{N}X_{k}c_{kn}$

Dan

$\langle x,c_{m}\rangle =\sum _{k=0}^{N}X_{k}\langle c_{k},c_{m}\rangle =X_{m}\langle c_{m},c_{m}\rangle$

Dus

$X_{m}={\frac {\langle x,c_{m}\rangle }{\langle c_{m},c_{m}\rangle }}$

Keuze??

$c_{kn}=\cos(kn{\tfrac {\pi }{N-1}});k,n=0,\ldots ,N-1$

$c_{kn}=\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{N}});\ k,n=0,\ldots ,N-1$?

$c_{kn}=\cos((k+{\tfrac {1}{2}})n{\tfrac {\pi }{N}});\ k,n=0,\ldots ,N-1$

$c_{kn}=\cos((k+{\tfrac {1}{2}})(n+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{N}});\ k,n=0,\ldots ,N-1$?

Ordening

En: In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.

welgefundeerde relatie: ieder niet leeg deel bevat een minimaal element.

welgefundeerde orde: partiele ordening die welgefundeerd is

welgefundeerde verzameling: verzameling met welgefundeerde orde

keten: deel van welgefundeerde verzameling dat totaal geordend is

preorde = homogene tweeplaatsige relatie die reflexief en transitief is.

partiele orde = preorde + antisymmetrisch

totale orde = partiele orde + totaal(="elk tweetal vergelijkbaar")

welgefundeerde totale orde = totale orde + welgefundeerd

welorde = welgefundeerde totale orde + strict

Wedge etc

reele vectorruimte $V$

geometrisch product gedefinieerd in termen van inproduct en wedgeproduct:

inproduct:

$a,b\in V:a\cdot b\in \mathbb {R}$

$a\cdot b=b\cdot a$

wedgeproduct (wat is dat?):

$a\wedge b$ element van quotient van tensorproducten

$a\wedge b=-b\wedge a$

dan geometrisch product

$ab=a\cdot b+a\wedge b$ element van??

ruimten

$V,W,X$

bilineaire afbeelding

$\otimes \colon V\times W\to X$

tensorproduct

$\otimes (v,w)$

genoteerd als

$v\otimes w$

de deelruimte van $X$ die wordt voortgebracht door de $v\otimes w$ heet tensorproduct $V\otimes W$

Bases $(v_{1},\ldots v_{n})\subset V,(w_{1},\ldots w_{m})\subset W$, dan

$(v_{i}\otimes w_{j})\subset V\otimes W$

basis $V\otimes W$, dus

$x\in V\otimes W\Rightarrow x=\sum _{ij}x_{ij}v_{i}\otimes w_{j}$

en

$a=\sum _{i}a_{i}v_{i},\quad b=\sum _{j}b_{j}w_{j}\Rightarrow a\otimes b=\sum _{ij}a_{i}b_{j}v_{i}\otimes w_{j}$

verband met kronecker-product?

Voorbeeld

Het tensorproduct $\mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}$ wordt geimplementeerd door:

$(1,0)\otimes (1,0)=(1,0,0,0)$

$(1,0)\otimes (0,1)=(0,1,0,0)$

$(0,1)\otimes (1,0)=(0,0,1,0)$

$(0,1)\otimes (0,1)=(0,0,0,1)$

dus de $\mathbb {R} ^{4}$, met

$a=(a_{1},a_{2}),\quad b=(b_{1},b_{2})\Rightarrow a\otimes b=(a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{2}b_{1},a_{2}b_{2})$

en ook door de 2×2-matrices

Tensor uit $V\otimes V^{*}$, bv. $v\otimes w^{*}$, wat kun je daarmee?

2. axiomatisch gedefinieerd geometrisch product $ab$, waaruit inproduct en wedgeproduct volgen

axioa's

$a(bc)=(ab)c$

$a(b+c)=ab+ac$

$(a+b)c=ac+bc$

$a^{2}=Q(a)$

dan

$a\cdot b={\tfrac {1}{2}}(ab+ba)={\tfrac {1}{2}}((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2})$, dus scalair

$a\wedge b={\tfrac {1}{2}}(ab-ba)$

driehoek gevormd door a en b; dan vectorieel:

$a+b=c$

$|a+b|=|c|$

$|a+b|^{2}=|c|^{2}$

dus volgens cosinusregel:

$|a+b|^{2}=|c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b|\cos \angle (a,b)$

$|a+b|^{2}-|a|^{2}-|b|^{2}=-2|a||b|\cos \angle (a,b)$

???

$Q(a+b)-Q(a)-Q(b)=-2|a||b|\cos \angle (a,b)$

${\tfrac {1}{2}}((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2})=-|a||b|\cos \angle (a,b)$

en dan

$a\cdot b=|a||b|\cos \angle (a,b)$ (minteken?)

Dus het "dot-product" is een inproduct dat overeenkomt met het euclidische inproduct $(a,b)$.

$(a\cdot b)\cdot c={\tfrac {1}{2}}(ab+ba)\cdot c={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}(ab+ba)c+c{\tfrac {1}{2}}(ab+ba)\right)={\tfrac {1}{4}}(abc+bac+cab+cba)$

bivector

enkelvoudig: wedgeproduct van twee vectoren

dimensie 2 of 3: alle bivectoren zijn enkelvoudig

georienteerd oppervlakte-element.

hoe tel je twee bivectoren bij elkaar op?

$a\wedge b+c\wedge d=(\det(a,b)+\det(c,d))e_{1}\wedge e_{2}$

dus tel de opp op

in 3D

$a\wedge b=D_{12}e_{1}\wedge e_{2}+D_{23}e_{2}\wedge e_{3}+D_{13}e_{1}\wedge e_{3}$

$c\wedge d=D'_{12}e_{1}\wedge e_{2}+D'_{23}e_{2}\wedge e_{3}+D'_{13}e_{1}\wedge e_{3}$

in 3D alle bivectoren enkelvoudig

$a\wedge b+c\wedge d=x\wedge y$

$D_{12}=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}$

$D'_{12}=c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2}$

dus

$x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2}$

tel de projecties op de vlakken bij elkaar op; deze moeten de projecties zijn van $x\wedge y$

trivector

grassmann-algebra: vectorruimte met grassmann-product

grassmann-product

trilineaire afbeelding T:

$T(ax,by,cz)=abcT(x,y,z)$

$T(x+x',y,z)=T(x,y,z)+T(x',y,z)$

etc

als er een bilineaire afbeelding $\varphi \colon V\times W$ is die paren basisvectoren $(v,w)$ eenduidig afbeeldt in $X$, heet $X$ het tensorprduct $V\otimes W$ van $V$ en $W$:

Engel-ontwikkeling van $0<x_{0}<1$:

$x={\frac {1}{a_{1}}}\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\ldots \right)\right)\right)$

$2\leq a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots$

${\frac {1}{n}}\leq x<{\frac {1}{n-1}}$

dan

$a_{1}\geq n$

het blijkt

$a_{1}=n$

dus

${\frac {1}{a_{1}}}\leq x<{\frac {1}{a_{1}-1}}$

$0\leq a_{1}x-1<{\frac {a_{1}}{a_{1}-1}}-1={\frac {1}{a_{1}-1}}$

$x={\frac {1}{a_{1}}}(1+r)$

$a_{1}x-1=r$

het moet zo zijn dat als je a1 te groot neemt, er een tegenspraak ontstaat

a1 te groot dan x-1/a1 te groot? wanneer is x-1/a1 te groot? als voor convergentie een ai<a1 nodig is

want stel

$a_{1}>n$

${\frac {1}{a_{1}}}<{\frac {1}{n}}\leq x$

$x-{\frac {1}{a_{1}}}>{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{a_{1}}}>{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{n(n+1)}}$

$a_{1}x-1>{\frac {a_{1}}{n(n+1)}}>{\frac {1}{n+1}}$

Noem

${\frac {1}{n}}=t_{n}$

en

${\frac {1}{a_{k}}}=A_{k}$

dus

$x=A_{1}(1+A_{2}(1+A_{3}(1+\ldots )))$

${\tfrac {1}{2}}\geq A_{1}\geq A_{2}\geq A_{3}\geq \ldots$

$t_{n}\leq x<t_{n-1}$

$A_{1}=t_{n}$

want stel

$A_{1}=t_{m};m=n+k$

$x>t_{n}-t_{m}={\frac {k}{n(n+k)}}$

$a_{1}x-1>A_{2}$

$a_{1}x-1>a_{1}t_{n}t_{n+1}>{\frac {1}{n+1}}$

Verdelingsfunctie: abs. cont. dan continu diff. op open interval en dus is de dichtheid daar continu.

open interval $(x_{0},x_{1})$ met eventueel $x_{0}=-\infty ,x_{1}=+\infty$

verdeling $P$. Abs cont: $P\ll \lambda$; van $X$: $P_{X}$; ook $P_{X}\ll \lambda$

Verdelingsfunctie

$F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])=\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t$

$F'=f$

continu op $(x_{0},x_{1})$

$g=f$ bijna overal

$F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{\{X\leq x\}}h(t)\,\mathrm {d} t$

$h,g$

Wat is de (een) dichtheid? $g$ ? $F'$ is continu op open interval

Uniform op $(-1,1)$

verdelingsfunctie gedefinieerd op heel $\mathbb {R}$ en abs. continu. Continu differentieerbaar op $(-1,1)$ Idem $[-1,1]$

$F'$ niet gedefinieerd voor $-1$ en $1$

Todo

• evenwijdig
• Regressie-analyse
• Nominale rente
• Beslissingsprobleem
• Clifford-algebra

Euleropolynoom

NL	D	UK
Eulergetal (getaltheorie)	w:de:Eulersche Zahlen	w:en:Euler number
eulerpolynoom	w:de:Euler-Zahlen#Euler-Polynome	w:en:Euler Polynomials
bernoulligetal	w:de:Bernoulli-Zahl	w:en:Bernoulli number
bernoullipolynoom	w:de:Bernoulli-Zahl#Bernoulli-Polynome	w:en:Bernoulli polynomials

Schijnkracht

Draaimolen

Mijn stelsel: kind maakt cirkelbeweging, dus moet er een centripetale kracht op werken; dat is de reactiekracht van de rugleuning. Reactiekracht waarop? Op traagheidskracht. Welke? Maar ik kan het ook zijn die draait! Ik zit met mijn rug tegen een weegschaal.

Draaimolen: kind is in rust, maar voelt de rugleuning! Dus is er een kracht! Maar een supergladde schijf bij z'n voeten maakt een cirkelbeweging. Hoe kan dat?

Opm: iemand staat op de grond. Snelheid 0, dus ook geen versnelling. Geen zwaartekrachtsvernelling. Maar wel een kracht, want op een weegschaal wordt die aangegeven. Maar geen nettokracht.

Elektron spiraliseert om positron. centripetale kracht is coulombkracht. Waarom "valt" het niet op het positron? Tegenwerking door centrifugale kracht.

Eindig lichaam

Lichaam $\mathbb {F} _{2}5$ Frobenius:

${\mathcal {F}}(a)={\mathcal {F}}(1+2{\sqrt {2}})=a^{5}=31=1+3{\sqrt {2}}=1-2{\sqrt {2}}$

Geconjugeerde! Dit geldt ook voor de machten 2 - 6.

Let op: $\mathrm {graad} =2:{\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))=x$

cyclisch

eenheidswortels: ?

Elliptische kromme over $L$ bv

$C:y^{2}=x^{3}+x+1$ over L

op de kromme is er

$x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2})$ zodat ...

$x^{3}=(x_{1},x_{2})^{3}=$

$y^{2}=(y_{1},y_{2})^{2}=$

bv via tabel terugzoeken

Tabel

$a\quad =21=1+2{\sqrt {2}};x=a;y^{2}=x^{3}+x+1=a^{3}+a\ \ +1=42=a^{19}$

$a^{2}\ \ =44=4+4{\sqrt {2}};x=a^{2};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{6}+a^{2}+1=43=a^{11}$

$a^{3}\ \ =20=\quad 2{\sqrt {2}};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{9}+a^{3}+1=31=a^{5}$

$a^{4}\ \ =23=3+2{\sqrt {2}};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{12}+a^{4}+1=23=a^{4}$!

$a^{5}\ \ =31=1+3{\sqrt {2}}y^{2}=21=a^{1}$ etc.

$a^{6}\ \ =3=3;y^{2}=1=a^{24}$!

$a^{7}\ \ =13=3+\ \ {\sqrt {2}};y^{2}=4=a^{12}$!

$a^{8}\ \ =22=2+2{\sqrt {2}};y^{2}=24=a^{17}$

$a^{9}\ \ =10=\qquad \ {\sqrt {2}};y^{2}=31=a^{5}$

$a^{10}\ =14=4+\ \ {\sqrt {2}};y^{2}=12=a^{23}$

$a^{11}\ =43=3+4{\sqrt {2}};y^{2}=12=a^{23}$

$a^{12}\ =4$

$a^{13}\ =34=4+3{\sqrt {2}}$

$a^{14}\ =11=1+\ \ {\sqrt {2}}$

$a^{15}\ =30=\qquad 3{\sqrt {2}}$

$a^{16}\ =32=2+3{\sqrt {2}}$

$a^{17}\ =24=4+2{\sqrt {2}}$

$a^{18}\ =2=2$

$a^{19}\ =42=2+4{\sqrt {2}}$

$a^{20}\ =33=3+3{\sqrt {2}}$

$a^{21}\ =40=\quad 4{\sqrt {2}}$

$a^{22}\ =41=1+4{\sqrt {2}}$

$a^{23}\ =12=2+\ \ {\sqrt {2}}$

$a^{24}\ =1$

geeft voor y:

$x=a^{4};y=a^{2};y=-a^{2}=a^{14}$

$x=a^{6};y=a^{12};y=-a^{12}=a^{24}=1$

$x=a^{7};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}$

$x=a^{11};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}$

$x=a^{12};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}$

$x=a^{14};y=a^{5};y=-a^{5}=a^{17}$

$x=a^{18};y=a^{12};y=-a^{12}=a^{24}=1$

$x=a^{19};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}$

$x=a^{20};y=a^{10};y=-a^{10}=a^{22}$

$x=a^{22};y=a^{1};y=-a^{1}=a^{13}$

$x=a^{23};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}$

$x=a^{24};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}$

$x=3+j;y=4+2j;y=1+3j$

$x=3;y=4;y=1$

$x=3+3j;y=3;y=2$

$x=3+2j;y=3;y=2$

$x=4;y=3;y=2$

$x=1+3j;y=1+4j;y=4+j$

$x=2+2j;y=j;y=4j$

$x=2+3j;y=j;y=4j$

$x=1;y=j;y=4j$

$x=3+4j;y=4+3j;y=1+2j$

$x=1+2j;y=1+j;y=4+4j$

$x=2;y=4;y=1$

voortbrenger; probeer

$A:x=1;y=j$

r = 3x2+1 / 2y = 4/2j = 2/3 j x = r2-2x = 4/3 - 2 = -2/3 = -4 = 1 y=-j-2/3-1 = -5/3-j = -j = 4j

$2A:x=1;y=4j$???

Elliptisch

Kromme

$C=\{(x,y)|y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c\}$

Via de trafo $t(x,y)=(x+d,y)=(\xi ,\eta )$

$x+d=\xi$

$y=\eta$

wordt C afgebeeld op

$C'=t(C)=\{(\xi ,\eta )|\eta ^{2}=(\xi -d)^{3}+a(\xi -d)^{2}+b(\xi -d)+c\}$

in xy-stelsel

$C':y^{2}=(x-d)^{3}+a(x-d)^{2}+b(x-d)+c=$

$=x^{3}+(a-3d)x^{2}+(3d^{2}-2ad+b)x-d^{3}+ad^{2}-bd+c$

Neem

$d={\tfrac {1}{3}}a$

dan

$y^{2}=x^{3}+px+q$

homomorfie??

$q=0;y^{2}=x^{3}+px$

$H(x,y)=(X,Y)=(p^{a}x,p^{b}y)$

$y^{2}=p^{-2b}Y^{2}=x^{3}+px=p^{-3a}X^{3}+pp^{-a}X=p^{-3a}X^{3}+p^{1-a}X$

$Y^{2}=p^{2b-3a}X^{3}+p^{2b+1-a}X$

$2b-3a=0\Rightarrow 3a=2b$

$2b+1-a=0\Rightarrow a-1=2b$

$-2a=1$

$a=-1/2$

$b=-3/4$

$Y=p^{-3/4}y;X=p^{-1/2}x$

$Y^{2}=p^{-3/2}y^{2}=p^{-3/2}x^{3}+p^{-3/2}px=X^{3}+X$

---

som $(x,y)+(x',y')=(X,Y)$

lijn door $(X,Y)$ en $-(x,y)$ heeft

$\mathrm {rico} =-r={\frac {Y+y}{X-x}}$

dus

$x,y,x',y'\in \mathbb {Q} \Rightarrow X,Y\in \mathbb {Q}$

het omgekeerde geldt niet

endomorfismen

$\phi _{n}(x,y)=n(x,y)$

voor alle $n\in \mathbb {Z}$

endomorfisme als

$\phi ((x,y)+(x',y'))=\phi (x,y)+\phi (x',y')$

met inductie

$\phi _{1}(x,y)=(x,y)$

is endomorfisme

stel

$\phi _{n}(x,y)=n(x,y)$

is endomorfisme, dan

$\phi _{n+1}((x,y)+(x',y'))=(n+1)((x,y)+(x',y'))=$

$n((x,y)+(x',y'))+((x,y)+(x',y'))=$

$n(x,y)+n(x',y')+(x,y)+(x',y')=$

$(n+1)(x,y)+(n+1)(x',y')=\phi _{n+1}(x,y)+\phi _{n+1}(x',y')$

Is ook $\mathrm {half} (x,y)={\tfrac {1}{2}}(x,y)$ een endomorfisme? Met $2\cdot {\tfrac {1}{2}}(x,y)=(x,y)$, dus als ${\tfrac {1}{2}}(x,y)=(x',y')$, dan $(x',y')+(x',y')=(x,y)$. Trek vanuit $-(x,y)$ een raaklijn, die snijdt de kromme in $(x',y')$, mits het opde kromme ligt

Mits kromme over $\mathbb {R}$ of $\mathbb {C}$, e.d.

over $\mathbb {Q}$:

$(x,y)\in C$, dan $x,y\in \mathbb {Q}$

$y^{2}=x^{3}+px+q$

andere snijpunten $(x',y')$ met

$y'^{2}=x'^{3}+px'+q$

$(y-y')(y+y')=x^{3}-x'^{3}+p(x-x')$

$\mathrm {rico} ={\frac {y-y'}{x-x'}}={\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{y+y'}}$

als raakpunt, dan $x=x',y=y'$

$\mathrm {rico} ={\frac {x'^{2}+x'x'+x'^{2}+p}{y'+y'}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}$

ook:

$\mathrm {rico} ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}$

Raakpunt bepaald door:

$y'^{2}=x'^{3}+px'+q$

${\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{y+y'}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}$

${\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{3x'^{2}+p}}={\frac {y+y'}{2y'}}$

${\frac {\xi ^{2}+\xi +1+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}={\tfrac {1}{2}}(\eta +1)$

met

$\xi ={\frac {x'}{x}};\eta ={\frac {y'}{y}}$

${\tilde {p}}={\frac {p}{x^{2}}}$

dus

$\eta =2{\frac {\xi ^{2}+\xi +1+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}-1={\frac {-\xi ^{2}+2\xi +2+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}$

verder

$\eta ^{2}={\frac {\xi ^{3}x^{3}+p\xi x+q}{x^{3}+px+q}}={\frac {\xi ^{3}+{\frac {p}{x^{2}}}\xi +{\frac {q}{x^{3}}}}{1+{\frac {p}{x^{2}}}+{\frac {q}{x^{3}}}}}$

of met

${\tilde {q}}={\frac {q}{x^{3}}}$

$\eta ^{2}={\frac {\xi ^{3}+{\tilde {p}}\xi +{\tilde {q}}}{1+{\tilde {p}}+{\tilde {q}}}}$

andere vergelijking

$\eta ={\frac {-\xi ^{2}+2\xi +2+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}$

Het lijkt niet aannemelijk dat $\xi ,\ \eta \in \mathbb {Q}$.

Kromme $y^{2}=x^{3}+x$

endomorfismen

$1:\ (x,y)\in C\Rightarrow E(x,y)\in C$

$2:\ E((x,y)+(x',y'))=E(x,y)+E(x',y')$

$O(x,y)=\infty$

$\phi _{n}(x,y)=n(x,y)\in End$

$e(x,y)=(x,y)\in End$ want

$e((x,y)+(x',y'))=(x,y)+(x',y')=e(x,y)+e(x',y')$

$f(x,y)=(x,-y)\in End$ want

$f((x,y)+(x',y'))=f(x'',y'')=(x'',-y'')=$

$=(x,-y)+(x',-y')=f(x,y)+f(x',y')$

$g(x,y)=(-x,iy)\in End$ want

$g((x,y)+(x',y'))=g(x'',y'')=(-x'',iy'')=-(x'',-iy'')=$

$=-(x,-iy)-(x',-iy')=g(x,y)+g(x',y')$

$h(x,y)=(-x,-iy)\in End$ want

$h((x,y)+(x',y'))=h(x'',y'')=(-x'',-iy'')=-(x'',iy'')=$

$-(x,iy)-(x',iy')=h(x,y)+h(x',y')$

x

$f^{2}(x,y)=e(x,y)$

$fg(x,y)=gf(x,y)=h(x,y)$

$fh(x,y)=hf(x,y)=g(x,y)$

$g^{2}(x,y)=f(x,y)$

$gh(x,y)=hg(x,y)=e(x,y)$

$h^{2}(x,y)=f(x,y)$

e f g h

f e h g

g h f e

h g e f

---

+ Welke van $0,f,g,h{\text{ is }}(2e)=e+e,2f,2g,2h$?

$(e+e)(x,y)=(x,y)+(x,y)=(x',y')=(2e)(x,y)$

$(f+f)(x,y)=(x,-y)+(x,-y)=(x',y')=(2f)(x,y)$

$(g+g)(x,y)=(-x,iy)+(-x,iy)=(x',y')=(2g)(x,y)$

$(h+h)(x,y)=(-x,-iy)+(-x,-iy)=(x',y')=(2h)(x,y)$

raaklijn in $(x_{0},y_{0})$

$T:y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(x-x_{0})+y_{0}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2y}}{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2y}}(3x^{2}+1)=$

$y={\frac {1}{2y_{0}}}(3x_{0}^{2}+1)(x-x_{0})+y_{0}$

anders

Kromme $F(x,y)=x^{3}+x-y^{2}=0$

$T:y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(x-x_{0})+y_{0}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}}={\frac {3x^{2}+1}{2y}}=$

$y={\frac {3x_{0}^{2}+1}{2y_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}$

${\frac {y}{y_{0}}}-1={\frac {3x_{0}^{2}+3-2}{2x_{0}^{2}+2}}\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)$

${\frac {y}{y_{0}}}-1=\left({\tfrac {3}{2}}-{\frac {1}{x_{0}^{2}+1}}\right)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)$

snijpunt S

$y_{S}=y(x_{S})$

${\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=\left({\tfrac {3}{2}}-{\frac {1}{x_{0}^{2}+1}}\right)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)$

NB mogelijk is $x_{S}=\pm x_{0}$

$x_{S}=-x_{0}\Rightarrow y_{S}=-y_{0},y'=y_{0}$ kan niet

$x_{S}=x_{0}\Rightarrow y_{S}=y_{0},y'=-y_{0}$

$e+e=f$

---

Welke van $0,f,g,h{\text{ is }}e+f$?

$(e+f)(x,y)=(x,y)+(x,-y)$

verbindingslijn door O

$e+f=O$

---

Welke van $0,f,g,h{\text{ is }}a=e+g$?

$(e+g)(x,y)=(x,y)+(-x,iy)=(x',y')=a(x+y)$

als het een van de endomorfismen is, dan

$x_{S}=-x_{0}$

$y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=-x_{0}^{3}-x_{0}=-y_{0}^{2}$

$y_{S}=\pm iy_{0}$

verbindingslijn $(x_{0},y_{0})$ en $(-x_{0},iy_{0})$

$y=y_{0}+{\frac {y_{0}-iy_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})$

$=y_{0}+(1-i){\frac {y_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})$

${\frac {y}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1-i)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)$

snijpunt S

${\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1-i)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)$

NB mogelijk is $x'=x_{S}=-x_{0}$

${\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=i-1$

${\frac {y_{S}}{y_{0}}}=i$

$y_{S}=iy_{0}$

$y'=-y_{S}=-iy_{0}$

$a=h$

---

Welke van $0,f,g,h{\text{ is }}e+h$?

$(e+h)(x,y)=(x,y)+(-x,-iy)=(x',y')$

als het een van de endomorfismen is, dan

$x_{S}=x_{0}$

$y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=x_{0}^{3}+x_{0}=y_{0}^{2}$

$y_{S}=\pm y_{0}$

$x_{S}=-x_{0}$

$y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=-x_{0}^{3}-x_{0}=-y_{0}^{2}$

$y_{S}=\pm iy_{0}$

verbindingslijn $(x_{0},y_{0})$ en $(-x_{0},-iy_{0})$

$y=y_{0}+{\frac {y_{0}+iy_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})$

$=y_{0}+(1+i){\frac {y_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})$

${\frac {y}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1+i)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)$

snijpunt S

${\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1+i)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)$

Als $x'=x_{S}=-x_{0}$

${\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=-i-1$

${\frac {y_{S}}{y_{0}}}=-i$

$y_{S}=-iy_{0}$

$y'=-y_{S}=iy_{0}$

$e+h=g$

---

---

Welke van $0,f,g,h{\text{ is }}g+h$?

$(g+h)(x,y)=(-x,iy)+(-x,-iy)$

verbindingslijn door O

$g+h=O$

Punten op de kromme

Voor bv het lichaam $K=\mathrm {GF} (5)$ liggen naast het punt op oneindig de volgende punten op de kromme: $y^{2}=x^{3}+x+1$

$x$	$x^{3}+x+1$	$y$	$(x,y)$	relatie
0	1	1,4	(0,1),(0,4)	(0,1) = -(0,4)
1	3	-	-
2	1	1,4	(2,1),(2,4)	(2,1) = -(2,4)
3	1	1,4	(3,1),(3,4)	(3,1) = -(3,4)
4	4	2,3	(4,2),(4,3)	(4,2) = -(4,3)

Uit oogpunt van symmetrie:

$x$	$x^{3}+x+1$	$y$	$(x,y)$	relatie
2	1	1,-1	(2,1),(2,-1)	(2,-1) = -(2,1)
1	-2	-	-
0	1	1,-1	(0,1),(0,-1)	(0,-1) = -(0,1)
-1	-1	2,-2	(-1,2),(-1,-2)	(-1,-2) = -(-1,2)
-2	1	1,-1	(-2,1),(-2,-1)	(-2,-1) = -(-2,1)

Noem de punten:

$0=\infty ,\,A=(-2,1),\,B=(-1,2),\,C=(0,1),\,D=(2,1)$

en

$-A=(-2,-1),\,-B=(-1,-2),\,-C=(0,-1),\,-D=(2,-1)$

				(0-2)
		B	02
	A		C		D
(20)	-20	-10	00	10	20	(-20)
	-A		–C		–D
		-B	0-2
			(02)

lijnen door: -AA0, -BB0, -CC0, -DDO, ACD, AB, -CA, -DBC, plus gespiegeld

dan met A als voortbrenger:

$2A=C,\,3A=-D,\,4A=B,\,5A=-B,\,6A=D,\,7A=-C,\,8A=-A,\,9A=0$

bv A: X=-2;Y=1 2A: X=RICO= -2/2=-1; snijpunt -C, 2A=C etc

Andere voortbrengers: $2A,4A,\,5A=-4A,\,7A=-2A,\,8A=-A$

De punten $3A$ en $6A=-3A$ brengen een ondergroep voort.

Endomorfismen

De afbeeldingen $\phi _{n}$ met:

$\phi _{n}(X,Y)=n(X,Y)$

zijn endomorismen op de groep, immers:

$\phi _{n}(kA+mA)=n(kA+mA)=n(k+m)A=nkA+nmA=\phi _{n}(kA)+\phi _{n}(mA)$

Ze vormen een ring, met

$(\phi _{n}+\phi _{m})(kA)=\phi _{n}(kA)+\phi _{m}(kA)=nkA+mkA=\phi _{n}(kA)+\phi _{m}(kA)$

en

$(\phi _{n}\circ \phi _{m})(kA)=\phi _{n}(\phi _{m}(kA))=\phi _{n}(mkA)=\phi _{nm}(kA)$

Zijn er nog andere?

Voor een endomorfisme $\varepsilon \colon C\to C$ geldt algemeen voor alle $k$ en $x$:

$\varepsilon (kx)=k\varepsilon (x)$

dus is als er een voortbrenger $A$ is, waarvoor geldt:

$\varepsilon (A)=rA$

is voor alle $x$:

$\varepsilon (x)=\varepsilon (m_{x}A)=m_{x}\varepsilon (A)=m_{x}rA=rx=\phi _{r}(x)$

Er zijn geen andere endomorfismen dan de triviale, tenzij de groep niet cyclisch is.

Frobenius-endomorfisme is een endomorfisme op deze ring, die abels is.

Maar geïnduceerd: Literatuur: Frobenius-endomorfisme.

${\mathcal {F}}(X,Y)=(X^{5},Y^{5})$

In dit geval is K geen uitbreiding:

${\mathcal {F}}(A)={\mathcal {F}}(3,1)=(3^{5},1^{5})=(3,1)$

${\mathcal {F}}(B)={\mathcal {F}}(4,2)=(4^{5},2^{5})=(4,2)$

etc

${\mathcal {F}}$ is de identiteit

Levert dit een ander endomorfisme op de groep? stel

$x\in L$

$x=(a,b)=a+b{\sqrt {3}};a,b\in K$

$x^{5}=(a+b{\sqrt {3}})^{5}=a^{5}+4b^{5}{\sqrt {3}}=a+4b{\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {3}}=x^{*}$

Zoiets als geconjugeerde, maar op de elliptische kromme de tegengestelde.

$(X,Y)+(X',Y')=(X'',Y'')$

met

$(X'',Y'')$ rationale functies van $(X,Y),(X',Y')$

dan

${\mathcal {F}}((X,Y)+(X',Y'))=(X''^{5},Y''^{5})=(X^{5},Y^{5})+(X'^{5},Y'^{5})={\mathcal {F}}(X,Y)+{\mathcal {F}}(X',Y')$

Maar ${\mathcal {F}}(A)=(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})$ is een van de punten, zeg

$(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})=rA=r(X_{A},Y_{A})$

dan

${\mathcal {F}}(2A)={\mathcal {F}}(A+A)={\mathcal {F}}(A)+{\mathcal {F}}(A)=(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})+(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})=rA+rA=2rA$

Analoog

${\mathcal {F}}(nA)=nrA=rnA$

dus voor alle

${\mathcal {F}}(x)=rx$

wat betekent dit? Tel

$(x,y)+(x',y')=(x_{S},y_{S})$

$F((x,y)+(x',y'))=F(x_{S},y_{S})=(x_{S}^{p},y_{S}^{p})=$??

$x_{S}=r^{2}-(x+x')$

$x_{S}^{p}=r^{2p}-(x^{p}+x'^{p})=$

vermoedelijk

$(x_{S}^{p},y_{S}^{p})=(x^{p},y^{p})+((x'^{p},y'^{p})$

dan is $F$ een endomorfisme

Endomorfismen

De Engelse W. zegt: als lichaam eindig is zijn er niet-triviale endomorfismen, afkomstig van het frobemius-endomorfisme.

Eindig lichaam $K=\mathrm {GF} (p^{n})$, met karakteristiek $p$.

Endomorfisme $\phi$

Frobenius-endomorfisme op de ring!!!:

${\mathcal {F}}(\phi )=\phi ^{p}$

$\phi ^{p}=\phi \circ \ldots \circ \phi$

dan,

$\phi ^{p}((x,y)+(x',y'))=\phi ^{p-1}\circ \phi ((x,y)+(x',y'))=\phi ^{p-1}(\phi (x,y)+\phi (x',y'))=$

$\phi ^{p}((x,y)+(x',y'))=(\phi (x,y))^{p}+(\phi (x',y'))^{p}$

algemeen: endomorfismen $\phi ,\,\psi$ dan ook $\phi \circ \psi$ een endomorfisme

${\mathcal {F}}(\phi +\psi )(x,y)=(\phi +\psi )^{p}(x,y)=$

$=(\phi +\psi )^{p-1}(\phi +\psi )(x,y)=$

$=(\phi +\psi )^{p-1}(\phi (x,y)+\psi (x,y))=$

etc

$(\phi +\psi )^{p}=(\phi +\psi )^{p-1}(\phi +\psi )=$

$=(\phi +\psi )^{p-2}(\phi ^{2}+\psi ^{2}+\phi \psi +\psi \phi )=$

$=(\phi +\psi )^{p-3}(\phi ^{3}+\phi ^{2}\psi +\phi \psi \phi +\phi \psi ^{2}+\psi \phi ^{2}+\psi \phi \psi +\psi ^{2}\phi +\phi ^{3}=$

commutatieve endomorfismen

$\phi _{n}$

Frobenius

${\mathcal {F}}(\phi _{n})=(\phi _{n})^{p}=\phi _{n^{p}}$

${\mathcal {F}}(\phi _{n}+\phi _{m})={\mathcal {F}}(\phi _{n+m})=$

$=\phi _{(n+m)^{p}}=\phi _{(n^{p}+m^{p})}=\phi _{n^{p}}+\phi _{m^{p}}={\mathcal {F}}(\phi _{n})+{\mathcal {F}}(\phi _{m})$

${\mathcal {F}}(\phi _{n}\phi _{m})={\mathcal {F}}(\phi _{nm})=$

$=\phi _{(nm)^{p}}=\phi _{(n^{p}m^{p})}=\phi _{n^{p}}\phi _{m^{p}}={\mathcal {F}}(\phi _{n}){\mathcal {F}}(\phi _{m})$

zijn er andere????

Oplossing

Voor $y^{2}=x^{3}+1$

$(x,y)+(x',y')=(X(x,y,x',y'),Y(x,y,x',y'))$

where

$X={\frac {x^{2}x'+xx'^{2}-yy'+2}{(x'-x)^{2}}}$

en

$Y={\frac {(3x+x')x'^{2}y-(x+3x')x^{2}y'-4(y'-y)}{(x'-x)^{3}}}$

Observe that $Y^{2}=X^{3}+1$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {3x^{2}}{2y}}$

eenvoudiger met

$R={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

$X=R^{2}-(x_{1}+x_{0})$

$Y-{\bar {y}}=R(X-{\bar {x}})$

afleiding

$y_{0}^{2}=x_{0}^{3}+1$

$y_{1}^{2}=x_{1}^{3}+1$

$Y^{2}=X^{3}+1$

${\frac {Y-y_{0}}{X-x_{0}}}={\frac {Y-y_{1}}{X-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

$Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}$

$Y^{2}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}\right)^{2}=$

$=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+x_{0}^{3}+1+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=$

$X^{3}+1=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+x_{0}^{3}+1+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=$

$X^{3}-x_{0}^{3}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=$

$X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)^{2}(X-x_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=$

$X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {Y-y_{0}}{X-x_{0}}}(X-x_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=$

$X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(Y-y_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=$

$X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(Y+y_{0})$

$X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(Y+y_{0})}{y_{1}+y_{0}}}$

$X^{2}+Xx_{1}+x_{1}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(Y+y_{1})}{y_{1}+y_{0}}}$

aftrekken

$X(x_{1}-x_{0})+x_{1}^{2}-x_{0}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(y_{1}-y_{0})}{y_{1}+y_{0}}}$

$X={\frac {(y_{1}-y_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}-(x_{1}+x_{0})$

$X={\frac {(y_{1}^{2}-2y_{1}y_{0}+y_{0}^{2})}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}-(x_{1}+x_{0})$

$X={\frac {x_{1}^{3}-2y_{1}y_{0}+x_{0}^{3}+2-(x_{1}+x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}$

$X={\frac {x_{1}^{3}-2y_{1}y_{0}+x_{0}^{3}+2-(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})(x_{1}-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}$

$X={\frac {-2y_{1}y_{0}+2+x_{1}^{2}x_{0}+x_{0}^{2}x_{1}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}$

oké

$Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}$

$Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{1})+y_{1}$

optellen

$2Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(2X-(x_{1}+x_{0}))+y_{1}+y_{0}$

$Y-{\bar {y}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-{\bar {x}})$

---

---

Sterrentijd

Begrippen

• ICRS: referentiestelsel tov sterren
• Sterrentijd = Siderische tijd: uurhoek van het lentepunt; die Zeitintervalle zwischen den Meridiandurchgängen eines Fixsterns (genauer: der Frühlingspunkt) zu messen (siderische Zeit).
• Sterrendag: tijd die de Aarde nodig heeft om 360 graden om haar as te draaien ten opzichte van het lentepunt; tijd tussen twee culminaties van lentepunt
• Siderische dag: periode waarin de Aarde een volledige omwenteling (360 graden) om haar as maakt, bepaald door twee op elkaar volgende culminaties van een denkbeeldige, oneindig verre vaste ster; die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kulminationen eines fiktiven unendlich weit entfernten Fixsterns ohne Eigenbewegung
• Siderisch jaar: tijdsduur waarin de Aarde eenmaal zijn baan om de Zon doorloopt gerekend ten opzichte van de vaste sterren; Ein Sternenjahr oder siderisches Jahr (zu lateinisch sidus, Genitiv sideris ‚Stern‘) ist die Zeitspanne, die vergeht, bis die Sonne von der Erde aus gesehen die gleiche Stellung am Himmel in Bezug auf einen fiktiven unendlich weit entfernten Fixstern ohne Eigenbewegung einnimmt.
• Siderische maand tijd waarin de maan een volledige omloop om de aarde volbrengt ten opzichte van de vaste sterren.
• Siderische periode tijd van een volledige omwenteling of een volledige omloop van een hemellichaam tov vaste sterren
• Synodische periode
• Tropisch jaar: gemiddelde tijdsduur van een omwenteling van de zon tov lentepunt

rente

$N,n=1+N$ nominale rentevoet, nominale groeifactor

nominaal betekent genoemd, in naam maar niet In werkelijkheid, dus de rentevoet die in de akte genoemd wordt.

$R,r=1+R$ reele rentevoet, reele groeifactor

$E,e=1+E$ effectieve rentevoet, effectieve groeifactor

$I,i=1+i$ inflatiecijfer, inflatiefactor

$t$ aantal termijnen

$M_{t}={\frac {N}{t}},m_{t}=1+M_{t}$ termijn rentevoet, termijn groeifactor

$K,k=1-K$ kosten als fracie, kostendaalfactor

$B$ bedrag

zonder inflatie en kosten

$\left(1+{\frac {N}{t}}\right)^{t}=m_{t}^{t}=1+R=r$

$\left(1+{\frac {N}{t}}\right)^{t}=1+E$ {(Engelse, Franse W)

met inflatie, zonder kosten

$(1+E)=e=(1+R)(1+I)=r\cdot i$

$(1+N)=n=(1+R)(1+I)=r\cdot i$ (Engelse, Duitse W, Hypotheek rentetarieven)

met inflatie en kosten

$(1+E)=e=(1+R)(1+I)/(1-K)=r\cdot i/k$

test

Een Frans arts, een Duits smid, een Fries boer, een Noors boerin, een Russisch kok?????

brug

brug

• klapbrug, klepbrug, wipbrug?, flapbrug?
  • valbrug
  • ophaalbrug
  • basculebrug
  • oorgatbrug
• draaibrug
• ...

oint

$\int \!\!\!\!\!\!{\text{O}}$

$\int \!\!\!\!\!\!{\mathbf {\text{O}}}$

$\int \!\!\!\!\!\!\odot$

$\int$ $\int _{0}^{1}$ $\int \limits _{0}^{1}$

$\oint$ $\oint _{C}$ $\oint \limits _{C}$

$\oint {\Big (}{\frac {\frac {x}{z}}{k(x)}}{\Big )}$

$\oint \int$

${}\oint \int$

$\oint x^{4}$

$\oint {}^{4}$

$\oint \oint$

$\int \oint$

$\int \int$

$\iint$

$\oiint$

test

Trek achtereenvolgens een van de objecten X3Q@ uit de vaas.

aanwezig	aantal	trekking	over	aantal	getrokken	aantal
X3Q@	4	3	XQ@	3	3	1
XQ@	3	X	Q@	2	X3	2
Q@	2	@	Q	1	@X3	3
Q	1	Q		0	Q@X3	4
	0			0	Q@X3	4

Wanneer alle 4 objecten getrokken zijn, stopt het.

Met genummerde briefjes

aanwezig	aantal	trekking	over	aantal	getrokken	aantal
6789	4	9	678	3	9	1
678	3	8	67	2	89	2
67	2	7	1	1	789	3
6	1	6		0	6789	4
	0	?			6789	4

Ook nu houdt het op, al doen de nummers denken dat je verder zou kunnen gaan en vragen naar briefje 5.

Met genummerde briefjes 1234

aanwezig	aantal	trekking	over	aantal	getrokken	aantal
1234	4	4	123	3	4	1
123	3	3	12	2	43	2
12	2	2	1	1	432	3
1	1	1		0	4321	4
	0	?			4321	4

Natuurlijk eindigt dit ook hier, maar met appels.

aanwezig	aantal	trekking	over	aantal	getrokken	aantal
	4			3		1
	3			2		2
	2			1		3
	1			0		4
	0	?			?

Zou je nog meer appels kunnen pakken? Je hebt er 5 nodig: leen een appel. Of voor 6, leen er 2.

aanwezig	aantal	trekking	over	aantal	getrokken	aantal
	4			3		1
	3			2		2
	2			1		3
	1			0		4
	0			-1		5
	-1			-2		6

Plak een sticker met een nummer op de appels (analogie met briefjes 1234).

aanwezig	aantal	trekking	over	aantal	getrokken	aantal
1234	4	4	123	3	4	1
123	3	3	12	2	34	2
12	2	2	1	1	234	3
1	1	1		0	1234	4
1x	0	x	1	-1	x1234	5
12y	-1	y	12	-2	yx1234	6

Wat te doen met x en y?

Als appels genummerd zijn, met nummer 1 na een zeker punt (|).

...._-2_-1₀ | ₁₂₃₄....

of

...._-3_-2_-1 | ₁₂₃₄....

In beide gevallen is het eerste viertal

₁₂₃₄

en het eerste tiental

₁₂₃...₁₀

Het eerste tiental met nummers x0,x1,...,x9 is het tiental met x=1:

₁₀₁₁₂₁...₁₉

Tijdsperioden

2e jaar v. geb	1e jaar v. geb	geboortejaar	1e jaar n. geb	2e jaar n. geb	3e jaar n. geb
(jaar -2?)	(jaar -1?)	(jaar 0?)	jaar 1	jaar 2	jaar 3
			1e levensjaar	2e levensjaar	3e levensjaar
	(leeftijd -2)	(leeftijd -1)	leeftijd 0	leeftijd 1	leeftijd 2
tijd sinds geboorte	-----------------|-------------------|--------------------|--------------------|--------------- ...................-1......................0......................1........................2........

Wat als het nulpunt, de geboorte, precies op een jaarovergang ligt?

3e jaar v. geb	2e jaar v. geb	1e jaar v. geb	1e jaar n. geb	2e jaar n. geb	3e jaar n. geb
(jaar -3/-2?)	(jaar -2/-1?)	(jaar -1/0?)	jaar 1	jaar 2	jaar 3
			1e levensjaar	2e levensjaar	3e levensjaar
	(leeftijd -2)	(leeftijd -1)	leeftijd 0	leeftijd 1	leeftijd 2

Hoe is dat in onze jaartelling?

Het veronderstelde jaar van de geboorte van Chr. wordt het jaar 1 genoemd, zelfs 1 na Chr., hoewel het begon vóór zijn veronderstelde geboorte!

Ik ben geboren op 1982-08-13.
Mijn geboortejaar is dus 1982.
Het eerste kalenderjaar van (in) mijn leven is 1982
Het eerste volle kalenderjaar van mijn leven is 1983
Het eerste jaar na mijn geboorte is 1983.
Het eerste jaar voor mijn geboorte is 1981.
Mijn eerste levensjaar is geen kalenderjaar, maar loopt van ...

vervolg

$={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}=$

$=]a,b[=$

groepen $G,H$

homomorfisme $h:G\to H$

vectorruimte $V$

stel $H=Lin(V)^{\circ }$

is voor elke $G$ een homomorfisme mogelijk?

dan voor $x,y\in G$

$h(xy)=h(x)\circ h(y)$

$h(e)=h(ee)=h(e)\circ h(e)=I$

$h(e)=h(xx^{-1})=h(x)\circ h(x^{-1})=I$

dus

$h(x^{-1})=(h(x))^{-1}$

$xy=ab\Rightarrow h(xy)=h(x)\circ h(y)=h(ab)=h(a)\circ h(b)$

$a=xz,b=z^{-1}y\Rightarrow h(xy)=h(x)\circ h(y)=h(ab)=h(xz)\circ h(z^{-1}y)$

plaatsvector

In een driedimensionale euclidische ruimte is een cartesisch assenstelsel gegeven met de eenheidsvectoren ${\vec {e_{x}}},\ {\vec {e_{y}}},\ {\vec {e_{z}}}$. Van het punt $P$ met de coördinaten $x,y$ en $z$, is ${\vec {r}}={\vec {OP}}$ de plaatsvector. Dan is

${\vec {r}}=x{\vec {e_{x}}}+y{\vec {e_{y}}}+z{\vec {e_{z}}}={\vec {r}}_{x}+{\vec {r}}_{y}+{\vec {r}}_{z}$

Daarin zijn ${\vec {r}}_{x}=x{\vec {e_{x}}}$, ${\vec {r}}_{y}=y{\vec {e_{y}}}$ en ${\vec {r}}_{z}=z{\vec {e_{z}}}$ respectievelijk de x-, y- en z-componenten van de plaatsvector ${\vec {r}}$.

Het is niet correct te schrijven:

${\vec {r}}=(x,y,z)$

of

$P=(x,y,z)$

Ook is ${\vec {OP}}$ niet hetzelfde als $P$.

Het punt is dat de eenheidsvectoren ${\vec {e_{x}}},\ {\vec {e_{y}}},\ {\vec {e_{z}}}$ een basis vormen van $E$ en het coördinatenstelsel daaraan "hangt".

Wat is eigenlijk een coördinatenstelsel?

Een euclidische ruimte $E$ met oorsprong $O$ en orthonormale basis $e_{1},\ e_{2},\ldots ,\ e_{n}$ is isomorf met $\mathbb {R} ^{n}$ voorzien van inproduct.

In de rijtjesruimte $\mathbb {R} ^{3}$ is bv. $v=(1,2,8)$ een element (vector).

$v=v_{x}{\vec {e_{x}}}+v_{y}{\vec {e_{y}}}+v_{z}{\vec {e_{z}}}$

met ${\vec {e_{x}}}=(1,0,0),\ {\vec {e_{y}}}=(0,1,0),\ {\vec {e_{z}}}=(0,0,1)$

afw

termen

ware waarde

fout = afwijking

systematische fout

toevallige fout

meting van ware waarde

$\mu _{0}$

uitkomst $i$-de meting

$X_{i}=\mu +U_{i}=\mu _{0}+\Delta \mu +U_{i}$

met toevallige fout

$U_{i}$

waarvoor geldt

$\operatorname {E} U_{i}=0$

en systematische fout

$\Delta \mu$

$E(X-\mu _{0})^{2}=E(X-\mu +\mu -\mu _{0})^{2}=$

$=E(X-\mu )^{2}+(\mu -\mu _{0})^{2}=\mathrm {var} (X)+\mathrm {bias} ^{2}$

nauwkeurigheid = accuratesse = samengaan van precisie en juistheid = maat voor de fout

juistheid = systematische fout

precisie = toevallige fout =

geldigheid = validiteit

reproduceerbaarheid =

herhaalbaarheid = precisie?

betrouwbaarheid = precisie

stabiliteit

Viscositeit

kogel zinkt in vloeistof

voor

$-{\tfrac {1}{2}}\pi <\alpha <{\tfrac {1}{2}}\pi$

is de kracht langs de voerstraal vanuit middelpunt naar een punt van de kogel

$F(\alpha )=\eta {\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}$

Alleen de verticale z-component is van belang:

$F_{z}(\alpha )=F(\alpha )\cos(\alpha )$

Totaal

$F_{z}=\eta \iint \cos(\alpha ){\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}\,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \alpha =$

$=2\eta \cdot 2\pi r\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\alpha ){\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}\,\mathrm {d} \alpha$

Neerwaarts (volume V):

$F=V(\rho _{K}-\rho _{fl})g$

Evenwicht

$F_{z}=F$