Greense functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een greense functie, genoemd naar de Britse wiskundige George Green, die deze functie rond 1830 ontwikkelde, is een bepaald type functie die gebruikt worden voor het oplossen van inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden.

Definitie[bewerken]

Een greense functie is analoog aan de inverse van een matrix voor het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen:

Ax=b

Dit stelsel heeft als oplossing (als deze tenminste bestaat)

x=Bb,

of uitgeschreven

\!\,x_i= \sum_k B_{ik}b_k

waarin B de inverse is van A en waarvoor geldt:

(AB)_{ij}=\delta_{ij}.

Op analoge wijze is voor de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking

\!\,Lf=g

(Vaak verkeerdelijk geschreven als L{f(x)} = g(x) in plaats van (Lf)(x) = g(x).)

de functie G een greense functie van de lineaire differentiaaloperator L als:

\!\,(LG)(x,y)=\delta(x-y),

zodat een oplossing geschreven kan worden als:

f(x)=\int G(x,y)g(y)\,dy,

Een greense functie is niet altijd een echte functie, maar in het algemeen nog wel een distributie.

Greense functies spelen een belangrijke rol in veel vraagstukken van elektromagnetisme, akoestica, elasticiteit en dies meer. Ze spelen zowel een rol in de theoretische uitwerking van in de praktijk voorkomende vraagstukken, als ook in oplossingsmethoden met behulp van numerieke wiskunde.

Het oplossen van de differentiaalvergelijking komt dus neer op het vinden van de bijbehorende greense functie.

Eigenwaarden[bewerken]

Als de differentiaaloperator L een volledig stelsel eigenvectoren \psi_n heeft, kan daarmee een greense functie gevonden worden. Voor het volledige stelsel eigenvectoren \psi_n geldt namelijk:

\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \psi_n(y) =\delta(x - y)

Voor de greense functie G kan dan genomen worden:

G(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\lambda_n}\psi_n(x) \psi_n(y),

waarin \lambda_n de bij \psi_n behorende eigenwaarde is.

Oplossingsmethoden[bewerken]

Een handige manier om de greense functie G(x,y) uit te rekenen is door G in te vullen in de differentiaaloperator.

LG =\delta(x - y)

Daardoor wordt het domein nu in tweeën opgesplitst: x<y en x>y. In deze twee gebieden is de differentiaalvergelijking homogeen en (vaak) eenvoudiger op te lossen met de standaardtechnieken. Om de coëfficiënten te vinden is het nodig om de differentiaalvergelijking in zijn geheel een keer te integreren.

Het opleggen van de randvoorwaarden, continuïteit op x=y en het verband uit de geïntegreerde differentiaalvergelijking levert de coëfficiënten op (die van y afhangen).

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]