Hausdorffmaat

De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de $n$-dimensionale ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ of algemener van een metrische ruimte.

Achtergrond

Om de $m$-dimensionale maat van een deelverzameling $X$ van de $\mathbb {R} ^{n}$ te bepalen, wordt $X$ overdekt met een aftelbaar aantal $m$-dimensionale bolletjes met straal kleiner dan $\varepsilon$ en gaat men na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is:

$S_{\varepsilon }^{m}(X)=\inf \sum _{i=1}^{\infty }V_{m}r_{i}^{m}$,

waarin $r_{i}$ de straal is van het $i$-de bolletje uit de overdekking en

$V_{m}={\frac {(\Gamma ({\tfrac {1}{2}}))^{m}}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}m)}}$

het volume is van de eenheidsbol in $m$ dimensies. Het infimum wordt genomen over alle mogelijke dergelijke overdekkingen.

Door de maximaal toegestane straal $\varepsilon$ van de bolletjes kleiner te nemen, krijgt men een goede benadering van de afmeting van $X$:

$S^{m}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}S_{\varepsilon }^{m}(X)$

Voor de hausdorffmaat laat men in plaats van bolletjes alle deelverzamelingen van de $\mathbb {R} ^{n}$ toe die klein genoeg zijn, dat wil zeggen die een diameter hebben kleiner dan $\varepsilon$. De diameter is de grootste afstand binnen de verzameling:

${\rm {diam}}(X)=\sup \,\{|x-y|:x,y\in X\}$

Definitie

De $m$-dimensionale hausdorffmaat $H_{m}$ van een deelverzameling $X$ van de $\mathbb {R} ^{n}$ is gedefinieerd als:

$H^{m}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{m}(X)$,

waarin

$H_{\varepsilon }^{m}(X)=\inf \sum _{i=1}^{\infty }V_{m}({\tfrac {1}{2}}{\rm {diam}}(U_{i}))^{m}$,

en $U_{i}$ een deelverzameling is van de $\mathbb {R} ^{n}$ met een diameter kleiner dan $\varepsilon$, en de $U_{i}$ een aftelbare overdekking vormen van $X$.

Generalisaties

Metrische ruimte

De bovenstaande definitie kan eenvoudig gegeneraliseerd worden voor metrische ruimten. Daartoe vervangt men $|x-y|$ door de afstand $d(x,y)$ van $x$ en $y$.

Niet-gehele dimensies

Men kan ook voor niet-gehele dimensie $m$ de hausdorffmaat definiëren. De uitdrukking voor $V_{n}$ blijft dezelfde, maar stelt niet meer het volume van de eenheidsbol voor.