Hoofdstelling van de riemann-meetkunde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hoofdstelling van de riemann-meetkunde, dat er op enige riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) een unieke torsie-vrije metrische verbinding bestaat, die de levi-civita-verbinding van de gegeven metriek wordt genoemd. Hier is een metrische (of riemann-)verbinding, een verbinding die de metrische tensor bewaart.

Preciezer:

Laat (M,g) een riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) zijn, dan is er een unieke verbinding \nabla, die aan de volgende voorwaarden voldoet:

  1. voor enige vectorvelden X,Y,Z hebben wij \partial_X \langle Y,Z \rangle = \langle \nabla_X Y,Z  \rangle + \langle Y,\nabla_X Z \rangle, waar  \partial_X \langle Y,Z \rangle de afgeleide van de functie  \langle Y,Z \rangle aanduidt langs vectorveld X.
  2. voor enige vectorvelden X,Y, \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y], waar [X,Y] de lie-haken voor vectorvelden X,Y aanduiden.

(De eerste voorwaarde houdt in dat de metrische tensor wordt bewaard door parallel transport, terwijl de tweede voorwaarde het feit uitdrukt dat de torsie van \nabla nul is.)

Een uitbreiding van de hoofdstelling stelt dat er, gegeven een pseudo-riemann-variëteit, een unieke verbinding bestaat, die de metrische tensor bewaart met enige gegeven vectorwaardige 2-vorm als haar torsie.

Het onderstaande technische bewijs presenteert een formule voor christoffel-symbolen van de verbinding in een lokaal coördinatensysteem. Voor een gegeven metriek kan deze verzameling van vergelijkingen nogal ingewikkeld worden. Er bestaan snellere en eenvoudigere methoden om de christoffel-symbolen voor een bepaalde metriek te verkrijgen, bijvoorbeeld het gebruiken van de actie integraal en de geassocieerde euler-lagrange-vergelijkingen.

Zie ook[bewerken]