Lüroth-expansie

De Lüroth-expansie of Lüroth-ontwikkeling van een reëel getal $x$ uit het halfopen interval (0,1] is een rij van gehele getallen $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$, alle groter dan of gelijk aan 2, zodat $x$ geschreven kan worden als een reeks van de volgende vorm:

${\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}(a_{1}-1)a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}(a_{1}-1)a_{2}(a_{2}-1)a_{3}}}+\dots +{\frac {1}{a_{1}(a_{1}-1)\dots a_{n-1}(a_{n-1}-1)a_{n}}}+\dots$ [1]

Deze expansie werd in 1883 door de Duitse wiskundige Jacob Lüroth beschreven en onderzocht. Hij vond onder meer dat elk getal $x$ uit het halfopen interval (0,1] op een unieke wijze kan geschreven worden als een dergelijke reeks, en dat omgekeerd elke reeks van de vorm [1] convergeert naar een getal uit (0,1]. De $n$-de term in een Lüroth-reeks is immers kleiner dan of gelijk aan $1/2^{n}$ en gaat naar nul als $n$ naar oneindig gaat; dus convergeert de reeks. Er bestaat bijgevolg een een-op-eenrelatie tussen getallen uit (0,1] en rijen $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ van gehele getallen groter dan of gelijk aan 2. Lüroth bewees ook dat elk rationaal getal ofwel een eindige ofwel een periodieke Lüroth-ontwikkeling heeft, en dat elk irrationaal getal een oneindige Lüroth-ontwikkeling heeft.

Voorbeeld: de Lüroth-reeks met coëfficiënten (2, 4, 6, 8, ...) convergeert naar het getal $1-{\frac {1}{e}}$.

Berekening

De coëfficiënten uit de reeksontwikkeling [1] kunnen met het volgende algoritme berekend worden:

• Stel $t_{0}=x$
• Bereken voor $n=0,1,2,\ldots$
  • $a_{n+1}=\left\lfloor {\frac {1}{t_{n}}}\right\rfloor +1$ (hierin is $\lfloor x\rfloor$ de entier-functie, dit is het grootste geheel getal dat niet groter is dan $x$)
  • $t_{n+1}=a_{n+1}(a_{n+1}-1)\left(t_{n}-{\frac {1}{a_{n+1}}}\right)$
• Stop wanneer $t_{n}$ het reciproke is van een natuurlijk getal; dan is $a_{n+1}={\frac {1}{t_{n}}}$
• Wanneer de $a_{n+1}$ gelijk is aan $x$ is de Lüroth-ontwikkeling periodiek.

Berekeningsvoorbeeld

We berekenen de Lüroth-ontwikkeling van $x=11/18$

$t_{0}=11/18$

$a_{1}=\lfloor {18/11}\rfloor +1=2$

$t_{1}=2\cdot 1\cdot (11/18-1/2)=4/18=2/9$

$a_{2}=\lfloor {9/2}\rfloor +1=5$

$t_{2}=5\cdot 4\cdot (2/9-1/5)=20/45=4/9$

$a_{3}=\lfloor {9/4}\rfloor +1=3$

$t_{3}=3\cdot 2\cdot (4/9-1/3)=6/9=2/3$

$a_{4}=\lfloor {3/2}\rfloor +1=2$

$t_{4}=2\cdot 1\cdot (2/3-1/2)=2/6=1/3$

$a_{5}=3$

De Lüroth-ontwikkeling van 11/18 is dus {2,5,3,2,3}:

${\frac {11}{18}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 3}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{120}}+{\frac {1}{480}}+{\frac {1}{1440}}$

Referenties

• H. Jager, C. De Vroedt, "Lüroth series and their ergodic properties", Indagationes Mathematicae (Proceedings), Volume 72, Issue 1, 1969, Pages 31-42, ISSN 1385-7258, DOI:10.1016/1385-7258(69)90023-7 (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/1385725869900237)
• Jose Barrionuevo, Robert M. Burton, Karma Dajani en Cor Kraaikamp, "Ergodic properties of generalized Lüroth series", Acta Arithmetica, vol. 74, nr. 4 (1996), blz. 311-327

Bronnen, noten en/of referenties