Trilineaire coördinaten

De trilineaire coördinaten voor P zijn gegeven door a' :b' :c'

In het vlak van een gegeven driehoek kan een punt aangegeven worden door trilineaire coördinaten, ook wel normaalcoördinaten of driehoekscoördinaten genoemd. Deze coördinaten bestaan uit drie getallen, genoteerd als $x:y:z$ die de verhouding aangeven van de afstanden $a',b',c'$ van het punt tot de overeenkomstige zijden$a,b,c$ van de driehoek. Er geldt dus:

$a':b':c'=x:y:z$

Definitie

Laat het punt $P$ gelegen zijn in het vlak van de driehoek $\triangle ABC$ met afstanden $a',b',c'$ tot respectievelijk de zijden $BC, CA, AB$. Dan heten $x:y:z$ trilineaire coördinaten van het punt $P$, als er een reëel getal $h\ne 0$ is, zodanig dat geldt:

$a'=hx, b'=hy,c'=hz$.

De afstanden zijn gerichte afstanden; als het punt $P$ aan dezelfde kant van een zijde ligt als het derde punt van de driehoek, wordt de afstand positief gerekend; anders negatief.

Trilineaire coördinaten zijn niet eenduidig bepaald. In feite worden verhoudingen weergegeven, wat wordt geaccentueerd door de coördinaten te scheiden met een dubbelepunt.

De trilineaire coördinaten van de hoekpunten zijn:

• 1:0:0 voor A
• 0:1:0 voor B
• 0:0:1 voor C

en het middelpunt van de ingeschreven cirkel heeft trilineaire coördinaten 1:1:1.

Verband met barycentrische coördinaten

Trilineaire coördinaten hebben grote gelijkenis met barycentrische coördinaten. Zijn de trilineaire coördinaten van een punt x:y:z dan zijn de bijbehorende barycentrische coördinaten $(ax:by:cz)$.

Zie ook

• Coördinaat