Trisectricestelling van Morley

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De driehoek van Morley
Meer driehoeken van Morley

De Trisectricestelling van Morley luidt:

Maak in een driehoek de halfrechten die de hoeken van die driehoek in drie gelijke delen verdelen, de trisectrices. Neem bij elke zijde vanuit de hoekpunten de twee aanliggende trisectrices, en neem hun snijpunt. De drie snijpunten vormen dan een gelijkzijdige driehoek, de driehoek van Morley genoemd.

Frank Morley bewees deze stelling in 1899. Hij is uit te breiden door in plaats van de trisectrices van de binnenhoek, de trisectrices van de buitenhoek te nemen. Door verschillende combinaties te gebruiken zijn 18 driehoeken van Morley te vormen, waarvan enkele uit nevenstaande figuur kunnen worden afgelezen.

Eigenschappen van de driehoek van Morley[bewerken]

  • Een lijn \ell is evenwijdig met een zijde van de driehoek van Morley dan en slechts dan als de som van de gerichte hoeken
\angle(\ell,BC) + \angle(\ell,AC) + \angle(\ell,AB) \equiv 0 \left(\mod \pi\right)
 A' = \left( a : b\cos\left(\frac {\gamma}3\right) : c\cos\left(\frac {\beta}3\right) \right),
 B' = \left( a\cos\left(\frac {\gamma}3\right)  : b : c\cos\left(\frac {\alpha}3\right) \right),
 C' = \left( a\cos\left(\frac {\beta}3\right)  : b\cos\left(\frac {\alpha}3\right) : c \right).
  • Het zwaartepunt van deze gelijkzijdige driehoek wordt het eerste Morley punt genoemd, Kimberling nummer X(356). Het heeft barycentrische coördinaten
 \left( a\left(\cos\left(\frac {\alpha}3\right) +\cos\left(\frac {\beta}3\right) \cos\left(\frac {\gamma}3\right)\right) :
b\left(\cos\left(\frac {\beta}3\right) +\cos\left(\frac {\alpha}3\right) \cos\left(\frac {\gamma}3\right)\right) :
c\left(\cos\left(\frac {\gamma}3\right) +\cos\left(\frac {\alpha}3\right) \cos\left(\frac {\beta}3\right)\right) \right).
\left( \sin \alpha \sec\left(\frac {\alpha}3\right):\sin \beta \sec\left(\frac {\beta}3\right):\sin \gamma \sec\left(\frac {\gamma}3\right)\right).

Lengte van de zijde[bewerken]

Als we R schrijven voor de straal van de omgeschreven cirkel, dan is de lengte van de zijden van de driehoek van Morley gelijk aan:

8R\sin\frac{\alpha}{3}\sin\frac{\beta}{3}\sin\frac{\gamma}{3}

Zie ook[bewerken]