Voldoende (statistiek)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de statistiek zegt men dat een steekproeffunctie voldoende is voor een bepaalde familie kansverdelingen, als de steekproeffunctie alle informatie bevat over de kansverdeling waaruit de steekproef komt. De gehele steekproef geeft dus niet meer informatie, dan de voldoende steekproeffunctie. Het begrip werd ingevoerd door Fisher en houdt in het geval van een geparametriseerde familie kansverdelingen in, dat de voorwaardelijke verdeling van de steekproef, gegeven de waarde van de steekproeffunctie, niet afhangt de parameter.

Voorbeeld[bewerken]

In het geval van een normale verdeling met bekende variantie, is het steekproefgemiddelde voldoende voor de verwachtingswaarde. Zodra het gemiddelde in de steekproef bekend is, kan uit de steekproef geen verdere informatie over de verwachtingswaarde verkregen worden.

Definitie[bewerken]

Zij {PX,θ} een familie kansverdelingen van de stochastische variabele X, en X1,..., Xn een steekproef uit een van deze kansverdelingen. Een steekproeffunctie T = T(X1,..., Xn) heet voldoende voor de familie, ook voldoende voor (de parameter) θ, als de voorwaardelijke verdeling van X1,..., Xn , gegeven T = t, onafhankelijk is van θ.


Met behulp van de volgende factoriseringstelling van Fisher–Neyman laat het begrip "voldoende steekproeffunctie" zich geschikt karakteriseren.

Factoriseringstelling[bewerken]

Een steekproeffunctie T = T(X1,..., Xn) is dan en slechts dan voldoende voor de familie kansfuncties of kansdichtheden {fθ} van X, als er functies g en h bestaan zo, dat voor x = (x1,..., xn) geldt:

\,\! f_\theta(x)=h(x)\, g_\theta(T(x)),

dat wil zeggen dat fθ het product is van een factor h(x) die niet afhangt van θ, en een tweede factor die wel van θ afhangt, maar alleen door T(x) van x afhangt.

Voorbeelden[bewerken]

Bernoulli-verdeling[bewerken]

Als X1,..., Xn een onafhankelijke steekproef is uit een Bernoulli-verdeling met parameter p, dan is de som T=X_1+\dots +X_n een voldoende steekproeffunctie voor p. Dit blijkt uit de factorisering:

P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=p^{x_1}(1-p)^{1-x_1}\cdots p^{x_n}(1-p)^{1-x_n}=
=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}=p^{T(x)}(1-p)^{n-T(x)}

Uniforme verdeling[bewerken]

Als X1,..., Xneen onafhankelijke steekproef is uit de uniforme verdeling op het interval [0,θ], dan is T=\max(X_1,\dots , X_n) voldoende voor θ (het maximun van de steekproef is voldoende voor het maximum van de populatie). Dit blijkt weer uit de factorisering van de simultane dichtheid:

f_X(x_1,\ldots,x_n) = \frac{1}{\theta}\bold{1}_{\{0\leq x_1\leq\theta\}} \cdots 
     \frac{1}{\theta}\bold{1}_{\{0\leq x_n\leq\theta\}} = \frac{1}{\theta^n}\bold{1}_{\{0\leq\min\{x_i\}\}}\bold{1}_{\{\max\{x_i\}\leq\theta\}},

waarin 1 de indicatorfunctie is.

De factorisering heeft dus de gewenste vorm met h(x) = 1{min{xi}≥0}, en de rest afhankelijk van θ en x via T(x) = max{xi}.

Poissonverdeling[bewerken]

Als X1,..., Xn een onafhankelijke steekproef is uit de Poissonverdeling met parameter λ, dan is de som T=X_1+\dots +X_n een voldoende steekproeffunctie voor λ. Dit blijkt uit de factorisering:

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_1}}{x_1!} \cdots \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_n}}{x_n!} = \frac{1}{x_1!\cdots x_n !}e^{-n\lambda} \lambda^{x_1+\cdots+x_n}

met h(x)=1/(x_1!\cdots x_n!).