Indicatorfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De grafiek van de indicatorfunctie van een twee-dimensionale deelverzameling van een vierkant.

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de indicatorfunctie van een deelverzameling, een functie die het onderscheid maakt tussen elementen binnen en buiten de deelverzameling.

Vaak wordt als synoniem de term karakteristieke functie gehanteerd, maar deze term heeft ook andere betekenissen.

Definitie[bewerken]

Zij A een verzameling en D een deelverzameling van A. De indicatorfunctie van D is de functie 1_D:A\to\{0,1\} gedefinieerd door:

1_D(x) = 
\begin{cases} 
 1 & \mbox{als  } x \in D \\
 0 & \mbox{als  } x \notin D 
\end{cases}\ ,

die dus de elementen van D op het getal 1 afbeeldt, en de elementen van het complement van D op het getal 0.

De definitie van de indicatorfunctie hangt niet alleen af van de deelverzameling D, maar ook van de universele verzameling A.

Voorbeelden[bewerken]

De indicatorfunctie van A zelf is de constante functie 1.

De indicatorfunctie van de lege verzameling is de constante functie 0.

Zij A = {1,2,3} en D = {1,2}; dan is de indicatorfunctie van D bepaald door D(1)=1, D(2)=1 en D(3)=0.

De indicatorfunctie van het singleton {0} als deelverzameling van de reële getallen is de Kronecker-delta δi0.

Toepassing[bewerken]

Indicatorfuncties vormen een brug om stellingen over reëelwaardige functies, toe te passen op verzamelingen.

In de maattheorie wordt vaak het omgekeerde toegepast: men bewijst een tamelijk eenvoudige stelling over de maat van een deelverzameling, en men veralgemeent ze tot een stelling over de integraal van een meetbare functie. Als tussenstap wordt vaak de integraal van een enkelvoudige functie beschouwd, d.i. een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties.

Verband met machtsverzameling[bewerken]

De machtsverzameling van A staat in een natuurlijk een-eenduidig verband (bijectie) met de verzameling van alle functies van A naar het paar {0,1}, door met iedere deelverzameling van A haar indicatorfunctie te associëren.

In het algemeen wordt de verzameling van alle functies tussen twee gegeven verzamelingen A en B genoteerd als BA.

Dit verklaart waarom de machtsverzameling van A vaak 2A genoteerd wordt, als we de vrijheid nemen de verzameling {0,1} met het symbool 2 aan te duiden.