Warmtevergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De warmtevergelijking of diffusievergelijking is een elementaire parabolische partiële differentiaalvergelijking die onder andere de variatie van temperatuur in een gegeven gebied in de tijd kan beschrijven.

Definitie[bewerken]

In drie dimensies heeft de vergelijking de volgende vorm:

u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )\quad

Waarin:

  • u(t, x, y, z) de temperatuur is als functie van tijd en ruimte;
  • ut de mate van temperatuurverandering is in de tijd op een gegeven punt;
  • u_{xx}, u_{yy}, en u_{zz} de tweede partiële afgeleiden zijn van de temperatuurfunctie naar een richting x, y, of z.

Voor willekeurige dimensies kan de warmtevergelijking door middel van de Laplace-operator beschreven worden.

u_t = k \Delta u\quad

Hierin wordt de Laplace-operator genomen over de variabelen die de ruimte beschrijven (in bovenstaand voorbeeld x, y en z).

Probleemstelling, randvoorwaarden[bewerken]

Om van de warmtevergelijking een zinvolle wiskundige (en fysische) probleemstelling te maken, moet ze nog aangevuld worden met randvoorwaarden. Dat wil zeggen dat bepaalde aspecten van de onbekende functie u a priori worden vastgelegd op de rand van een deelverzameling van de ruimte-tijd. Meestal neemt dit de vorm aan van een afzonderlijke beginvoorwaarde op tijdstip t=0 en een ruimtelijke randvoorwaarde op de rand van een deelverzameling van de ruimtelijke coördinaten. In dat geval zoeken we naar functies u voor strikt positieve tijdstippen en voor ruimtelijke coördinaten die binnen de gegeven deelverzameling liggen.

Voor de beginvoorwaarde wordt meestal de waarde van u zelf vastgelegd voor t=0 en voor elke mogelijk punt in de ruimte (of het relevante deel van de ruimte).

Voor de ruimtelijke randvoorwaarde legt men meestal de waarde van u zelf vast (probleem van Dirichlet), of haar richtingsafgeleide loodrecht op de rand van de gegeven verzameling (probleem van Neumann), of een combinatie van beiden.

Voorbeeld[bewerken]

De temperatuurverdeling en -evolutie in een dunne geïsoleerde staaf van lengte L wordt beschreven door een warmtevergelijking in één tijdelijke en één ruimtelijke coördinaat

u_t=ku_{xx}\quad

De beginvoorwaarde specificeert de temperatuurverdeling f op het begintijdstip t=0

\forall x\in[0,L]:u(0,x)=f(x)

Het thermische isolement van de staaf vertolkt zich in de Neumann-randvoorwaarden

\forall t>0:u_x(t,0)=u_x(t,L)=0

Oplossing[bewerken]

De aanpak bestaat er meestal in, voor de specifieke vorm van de randvoorwaarden een geschikte greense functie te vinden. Bij ruimtelijke dimensie één betekent dit een functie

g(t_1,x_1,t_2,x_2) \,

die als functie van t1 en x1 voldoet aan de warmtevergelijking, maar waarbij de rand- en beginvoorwaarden herleid zijn tot een diracfunctie geconcentreerd in (t2,x2).

De eigenlijke oplossing van het randvoorwaardeprobleem is dan de integraal van deze greense functie, gewogen met de echte begin- en randvoorwaarden als functie van t2 en t2.

Bronnen, noten en/of referenties