De boldriehoeksmeting, sferische goniometrie of sferische trigonometrie is een belangrijk deelgebied van de bolmeetkunde. Ze houdt zich voornamelijk bezig met de berekening van de elementen (zijden en hoeken) van boldriehoeken.
Typische toepassingen zijn:
Afstandsberekeningen tussen twee punten op het aardoppervlak als hun geografische coördinaten gegeven zijn.
Bepaling van de positie van een ster aan de hemelbol met behulp van de sterrenkundige driehoek.
Historische achtergrond
De ontwikkeling van de boldriehoeksmeting is nauw verbonden met astronomie. Omstreeks 350 jaar voor Christus dachten de oude Grieken daarom reeds over bolmeetkunde na. Maar het zijn de Arabieren, die – voortbouwend op hetgeen de Grieken en de Indiërs ontdekt hadden – in het jaar 900 de sinusregel ontdekten. Tijdens de ontdekkingsreizen van de 15de eeuw ontstond er een grote behoefte aan hulpmiddelen voor het bepalen van afstanden en posities op zee. Het is rond deze periode dat de boldriehoeksmeting een forse ontwikkeling doormaakte. De sinusregel, de tangensformules en cosinusregel voor de zijden van de driehoek werden in die tijd reeds aangewend. Een eeuw later vond men de cosinusregel voor de hoeken (de tweede cosinusregel). In de 17de eeuw werden nieuwe wiskundige technieken, zoals de logaritmen, ontwikkeld en werden de nieuwe methoden van de boldriehoeksmeting op vele gebieden, zoals de cartografie, toegepast.
De boldriehoek
Een boldriehoek wordt gevormd door drie punten en van een boloppervlak die niet op een grootcirkel liggen en die verbonden zijn door bogen van grootcirkels die kleiner zijn dan halve cirkels. De punten en heten de hoekpunten van de boldriehoek, de bogen , en de zijden en de bolhoeken en de hoeken van de boldriehoek.
In de bolmeetkunde geldt:
elke zijde van een boldriehoek is kleiner dan de som van de beide andere;
de omtrek van een boldriehoek is kleiner dan die van een grootcirkel
Basisformule
De basisformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is de betrekking tussen de drie zijden en één hoek van een boldriehoek. Met behulp van de driehoeksmeting en enkele stellingen van de bolmeetkunde kan men deze basisformule afleiden. Als de boldriehoek gegeven is op een eenheidsbol, een bol met straal 1, geldt:
en analoog voor de andere zijden en hoeken.
De (tau)-transformaties
Nevendriehoeken en pooldriehoeken
Nevenhoek
De zijden en van de boldriehoek snijden elkaar een tweede maal in het tegenpunt van . De driehoek heet de nevendriehoek van ten opzichte van het punt . Noemt men de elementen van die nevendriehoek, dan is
Pooldriehoek
Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen, namelijk de eindpunten van de middellijn die loodrecht op het vlak van de cirkel staat.
De grootcirkel door van de boldriehoek heeft twee polen. De pool die aan dezelfde kant ligt als noemt men de pool van . De driehoek gevormd door de polen van de drie hoekpunten heet de pooldriehoek van .
In de bolmeetkunde bewijst men dat elke zijde van een der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn. Daarmee is
Heeft men nu een betrekking tussen de elementen van een willekeurige boldriehoek van de vorm:
,
dan geldt deze betrekking ook voor de nevendriehoek en de pooldriehoek en men krijgt dus twee nieuwe betrekkingen:
of
(1)
en
of
(2)
Men zegt dat deze betrekkingen door een -transformatie van elkaar kunnen worden afgeleid.
Sferisch exces
Het sferisch exces van een boldriehoek is het verschil van de som der hoeken en een gestrekte hoek:
Er geldt is positief en kleiner dan elke hoek.
Omtrek
Voor de omtrek van een boldriehoek geldt:
Formules van de halve hoeken in functie van de zijden
(C)
(S)
De sinusregel
Uit voorgaande formules volgt:
In woorden: de sinussen der hoeken van een boldriehoek verhouden zich als de sinussen der overstaande zijden.
De tweede cosinusregel
Toepassing van de -transformatie op de basisformule geeft:
en analoog voor de overige zijden.
De tweede cosinusregel wordt aan François Viète toegeschreven.
De cotangensregel
De cotangensregel is een betrekking tussen twee zijden, de ingesloten hoek en de overstaande hoek.
De rechthoekige boldriehoek
Een driehoek heet rechthoekig als een van zijn hoeken recht is. Als bijvoorbeeld de hoek recht is, heten de beide andere hoeken en scheef. De zijde is de schuine zijde en en zijn de rechthoekszijden. Er geldt dus , zodat:
De formules van Delambre
Delambre publiceerde in 1807 de volgende formules zonder bewijs:
De analogieën van Neper
Als men de overeenkomstige leden van de formules van Delambre deelt dan bekomt men de
analogieën van Neper:
Formules die uit het sferisch exces kunnen worden afgeleid
Uitdrukkingen voor de halve zijde
Toepassing van de -transformatie voor de pooldriehoek op de formules (C) en (S) geeft:
de lengte , dit is de hoek die de meridiaan door maakt met de nulmeridiaan () (de meridiaan van Greenwich) of ook nog de tussen deze twee meridianen gelegen boog aan de evenaar, men onderscheidt ooster- en westerlengte;
de breedte , dit is de sferische afstand van het punt tot de evenaar; men onderscheidt noorder- en zuiderbreedte.
Praktisch voorbeeld 1
Gevraagd wordt de kortste afstand tussen twee plaatsen op (een bolvormige) aarde wanneer de geografische coördinaten breedte en lengte bekend zijn.
Kortste afstand tussen twee punten op aarde
Men veronderstelt de aarde zuiver bolvormig. De kortste afstand tussen bijvoorbeeld Amsterdam Schiphol Airport (AMS), punt en Los Angeles International Airport (LAX), punt is de lengte van de boog over een grtootcirkel. De geografische coördinaten van Schiphol zijn en die van L.A. Int. Airport zijn .
Toegepassen van de basisformule op de geografische driehoek geeft:
of
,
zodat
Geografische coördinaten
Daaruit volgt
Nu is op aarde 1' = 1 zeemijl = 1852 m, dus
De aarde is in werkelijkheid een ellipsoïde, daarmede is de werkelijke afstand iets groter maar de afwijking langs de geodetische lijn op de ellipsoïde en deze op de grootcirkel verschilt minder dan 0,2 %.
Daar een vliegtuig verplicht is vluchtroutes te volgen is de afstand die het aflegt aanmerkelijk groter dan de boven berekende waarde.
Praktisch voorbeeld 2
Koers van een schip bij afvaart
Geografische coördinaten
Welke koers moet een schip bij afvaart nemen, om over de kortste weg, van het punt (Chili) naar het punt (Nieuw-Zeeland) te varen.
en
Van de nautische boldriehoek zijn de twee zijden en , en de ingesloten hoek bekend. Het komt er dus op aan de hoek te bepalen. De koers bij afvaart, de hoek met de meridiaan, is dan gelijk aan .
Toepassing van de derde cotangensregel geeft:
Na enige rekenwerk volgt:
,
zodat
of
De koers bij afvaart moet dus zijn.
Dit is de kortste hoek tussen Noord en Afvaartkoers.
Omdat kompaskoersen altijd uitgedrukt worden in graden vanaf het noorden rechtsom, moet bij afvaart de kompas-koers:
