Boldriehoeksmeting

Boldriehoek

De boldriehoeksmeting, sferische goniometrie of sferische trigonometrie is een belangrijk deelgebied van de bolmeetkunde. Ze houdt zich voornamelijk bezig met de berekening van de elementen (zijden en hoeken) van boldriehoeken.

Typische toepassingen zijn:

• Afstandsberekeningen tussen twee punten op het aardoppervlak als hun geografische coördinaten gegeven zijn.
• Bepaling van de positie van een ster aan de hemelbol met behulp van de sterrenkundige driehoek.

Historische achtergrond

De ontwikkeling van de boldriehoeksmeting is nauw verbonden met astronomie. Omstreeks 350 jaar voor Christus dachten de oude Grieken daarom reeds over bolmeetkunde na. Maar het zijn de Arabieren, die voortbouwend op hetgeen de Grieken en de Indiërs ontdekt hadden in het jaar 900 de sinusregel ontdekten. Tijdens de ontdekkingsreizen van de 15de eeuw ontstond er een grote behoefte aan hulpmiddelen voor het bepalen van afstanden en posities op zee. Het is rond deze periode dat de boldriehoeksmeting een forse ontwikkeling doormaakte. De sinusregel, de tangensformules en cosinusregel voor de zijden van de driehoek werden in die tijd reeds aangewend. Een eeuw later vond men de cosinusregel voor de hoeken (de tweede cosinusregel). In de 17e eeuw werden nieuwe wiskundige technieken, zoals de logaritmen, ontwikkeld en werden de nieuwe methoden van de boldriehoeksmeting op vele gebieden, zoals de cartografie, toegepast.

De boldriehoek

A, B, C zijn drie punten van een boloppervlak, die met het middelpunt O niet in eenzelfde plat vlak liggen. Als men nu deze punten twee aan twee verbindt door bogen van een grootcirkel die kleiner zijn dan halve cirkels dan ontstaat een boldriehoek. De punten A, B en C zijn de hoekpunten, de bogen BC ( = a), CA( = b), AB( = c) zijn de zijden, de bolhoeken BAC($\boldsymbol{\alpha}$), CBA($\boldsymbol{\beta}$), ACB($\boldsymbol{\gamma}$) zijn de hoeken van de driehoek.

In de bolmeetkunde bewijst men dat:

1. elke zijde van een boldriehoek kleiner is dan de som van de beide andere;
2. de omtrek van een boldriehoek kleiner is dan die van een grootcirkel

Grondformule

De grondformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is de betrekking tussen de drie zijden en één hoek van een boldriehoek. Met behulp van de driehoeksmeting en enkele stellingen van de bolmeetkunde kan men deze grondformule afleiden. Als de boldriehoek ABC beschreven is op een bol met een straal van 1 (eenheidsbol), dan hebben we:

$\mathbf{\cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha}$ (G)

en evenzo

$\cos b = \cos c \cdot \cos a + \sin c \cdot \sin a \cdot \cos \beta$

$\cos c = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma$

Men hoeft alleen de eerste formule te onthouden, de andere kunnen worden afgeleid door cyclische verwisseling van de letters.

De $\boldsymbol{\tau}$ (tau)-transformaties

Nevendriehoeken en pooldriehoeken

Nevenhoek

De zijden AB en AC van driehoek ABC snijden elkaar een tweede maal in het tegenpunt A' van A. De driehoek A'BC heet de nevenhoek van ABC ten opzichte van de boltweehoek A. Noemt men a',b',c',A',B',C' de elementen van die nevenhoek, dan is

$\begin{matrix} a'=a & b'= \pi - b & c'= \pi -c\\ \alpha'=\alpha & \beta'=\pi - \beta & \gamma'= \pi -\gamma \end{matrix}$

Pooldriehoek

Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen namelijk de eindpunten van de middellijn die loodrecht op het vlak van de cirkel staat.

Beschouw nu een boldriehoek ABC; de grootcirkel door BC bepaalt twee halve bollen en heeft twee polen; noem A1 die welke met A op eenzelfde halve bol ligt. Op dezelfde wijze heeft men B1 en C1 en de driehoek A1B1C1 heet de pooldriehoek van ABC.

In de meetkunde bewijst men dat elke zijde van één der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn. Daarmee is

$\begin{matrix} a_1=\pi-\alpha & b_1=\pi-\beta & c_1=\pi-\gamma\\ \alpha_1=\pi-a & \beta_1=\pi-b &\gamma_1=\pi-c \end{matrix}$

Heeft men nu een betrekking tussen de elementen van een willekeurige boldriehoek van de vorm: $\mathbf{F(a,b,c,\alpha,\beta,\gamma)=0}$ dan geldt deze betrekking ook voor de nevenhoek en de pooldriehoek en men krijgt dus twee nieuwe betrekkingen:

$\mathbf{F(a',b',c',\boldsymbol{\alpha'},\boldsymbol{\beta'},\boldsymbol{\gamma'})=0}$ of

$\mathbf{F(a,\boldsymbol{\pi}-b,\boldsymbol{\pi}-c,\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{\gamma}=0}$ (1)

en $\mathbf{F(a_1,b_1,c_1,\boldsymbol{\alpha_1},\boldsymbol{\beta_1},\boldsymbol{\gamma_1})=0}$

of$\mathbf{F(\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\pi}-\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\pi}-a,\boldsymbol{\pi}-b,\boldsymbol{\pi}-c)=0}$ (2)

Men zegt dat deze betrekkingen door een $\boldsymbol{\tau}$-transformatie van elkaar kunnen worden afgeleid.

Begrippen van de algemene boldriehoek

Door R stelt men de straal van de bol en door de D=2R de diameter.

Stelt men $\mathbf{a+b+c=2p}$ dan is $\mathbf{2p<2\boldsymbol{\pi}}$ of $\mathbf{p<\boldsymbol{\pi}}$. $\mathbf{p}$ noemt men de halve omtrek

Het sferisch exces 2E van een boldriehoek is het verschil van de som der hoeken en een gestrekte hoek

$\mathbf{2E=\alpha + \beta + \gamma - \pi}$. (E is positief en kleiner dan elke hoek).

Formules van de halve hoeken in functie van de zijden

$\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\sin p \cdot \sin (p-a)}{\sin b \cdot \sin c}}$ (C)

$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\sin (p-b) \cdot \sin (p-c)}{\sin b \cdot \sin c}}$ (S)

$\tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\sin (p-b) \cdot \sin (p-c)}{\sin p \cdot \sin (p-a)}}$

De sinusregel

Uit voorgaande formules volgt:

$\frac{\sin \alpha}{\sin a}=\frac{\sin \beta}{\sin b}=\frac{\sin \gamma}{\sin c}$

Dus de sinussen der hoeken van een boldriehoek verhouden zich als de sinussen der overstaande zijden.

De tweede cosinusregel

Toepassing van de $\boldsymbol{\tau}$-transformatie op de grondformule (G) geeft:

$\mathbf{\cos \alpha = -\cos \beta \cdot \cos \gamma + \sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos a}$ en evenzo

$\cos \beta = -\cos \gamma \cdot \cos \alpha + \sin \gamma \cdot \sin \alpha \cdot \cos b$

$\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c$

De tweede cosinusregel wordt aan François Viète toegeschreven.

De cotangensregel

Een betrekking tussen twee zijden, de ingesloten hoek en overstaande hoek noemt men de cotangensregel.

$\mathbf{\cot a \cdot \sin b = \cos b \cdot \cos \boldsymbol{\gamma} + \sin \boldsymbol{\gamma} \cdot \cot \boldsymbol{\alpha}}$

$\cot a \cdot \sin c = \cos c \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cot \alpha$

$\cot b \cdot \sin c = \cos c \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \cot \beta$

$\cot b \cdot \sin a = \cos a \cdot \cos \gamma + \sin \gamma \cdot \cot \beta$

$\cot c \cdot \sin a = \cos a \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cot \gamma$

$\cot c \cdot \sin b = \cos b \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \cot \gamma$

De rechthoekige boldriehoek

Een driehoek heet rechthoekig als één van zijn hoeken b.v. $\boldsymbol{\alpha}$ recht is, $\boldsymbol{\beta}$ en $\boldsymbol{\gamma}$ heten dan scheve hoeken; a is de schuine zijde en b en c zijn de rechthoekszijden.

Formules (voor een rechte hoek $\boldsymbol{\alpha}$)

Als men in de voorgaande formules $\alpha=\frac{\pi}{2}$ stelt dan krijgt men:

$\cos a = \cos b \cdot \cos c$

$\sin b = \sin a \cdot \sin \beta$

$\sin c = \sin a \cdot \sin \gamma$

$\cot a = \cot c \cdot \cos \beta$

$\cot a = \cot b \cdot \cos \gamma$

$\cot c \cdot \sin b = \cot \gamma$

$\cot b \cdot \sin c = \cot \beta$

$\cos \beta = \cos b \cdot \sin \gamma$

$\cos \gamma = \cos c \cdot \sin \beta$

$\cos a = \cot \beta \cdot \cot \gamma$

De formules van Delambre

Delambre publiceerde in 1807 de volgende formules zonder bewijs:

$\begin{matrix} \frac{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\gamma}{2}} = \frac{\cos \frac{a-b}{2}}{\cos \frac{c}{2}} & \frac{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}} = \frac{\cos \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{c}{2}} \\ & \\ \frac{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}} & \frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\sin \frac{c}{2}} \end{matrix}$

De analogieën van Neper

Als men de overeenkomstige leden van de formules van Delambre deelt dan bekomt men de analogieën van Neper:

$\begin{matrix} \frac{\tan \frac{\alpha +\beta}{2}}{\cot \frac{\gamma}{2}} = \frac{\cos \frac{a-b}{2}}{\cos \frac{a + b}{2}} & \frac{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cot \frac{\gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{a-b}{2}}{\sin \frac{a + b}{2}} \\ & \\ \frac{\tan \frac{a + b}{2}}{\tan \frac{c}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} & \frac{\tan \frac{a - b}{2}}{\tan \frac{c}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}} \end{matrix}$

Formules die uit het sferisch exces kunnen worden afgeleid

Uitdrukkingen voor de halve zijde

Toepassing van de $\boldsymbol \tau$-transformatie voor de pooldriehoek op de formules (C) en (S) geeft:

$\sin \frac{a}{2} = \sqrt{ \frac{\sin E \cdot \sin (\alpha - E)}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}}$

$\cos \frac{a}{2} = \sqrt{ \frac{\sin (\beta -E) \cdot \sin (\gamma - E)}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}}$

$\tan \frac{a}{2} = \sqrt{ \frac{\sin E \cdot \sin (\alpha - E)}{\sin (\beta -E) \cdot \sin (\gamma-E)}}$

Uitdrukkingen voor het sferisch exces

$\sin E = \frac{\sin \frac{a}{2} \cdot \sin \frac{b}{2} \cdot \sin \gamma}{\cos \frac{c}{2}}$

$\cot E = \frac{\cot \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{b}{2} + \cos \gamma}{\sin \gamma}$ (Formule van Cagnoli)

$\cos E = \frac{1 + \cos a + \cos b + \cos c}{4 \cdot \cos \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{b}{2} \cdot \cos \frac{c}{2}}$ (Formule van Euler)

$\tan \frac{E}{2} = \sqrt{\tan \frac{p}{2} \cdot \tan \frac{p-a}{2} \cdot \tan \frac{p-b}{2} \cdot \tan \frac{p-c}{2}}$ (Formule van LHuillier)

De eerste en de laatste formule is reeds logaritmisch.

Toepassingen

Navigatie en afstandsbepaling op aarde

Geografische coördinaten

Definitie geografische coördinaten

De geografische coördinaten van een punt A op de aardbol zijn:

1. de lengte $\mathbf{L_a}$ en dit is de hoek die de meridiaan PAP' door A maakt met de nul meridiaan (PWP') (dit noemt men de meridiaan van Greenwich) of ook nog de tussen deze twee meridianen gelegen boog WA' aan de evenaar, men onderscheidt ooster- en westerlengte;
2. de breedte $\boldsymbol{\phi_A}$ en dit is de sferische afstand AA' van het punt A tot de evenaar; men onderscheidt noorder- en zuiderbreedte.

Praktisch voorbeeld 1

Gevraagd wordt de kortste afstand tussen twee plaatsen op (een bolvormige) aarde wanneer de geografische coördinaten breedte $\boldsymbol{\phi}$, en lengte $\mathbf{L}$ gekend zijn.

Kortste afstand tussen twee punten op aarde

Men veronderstelt de aarde zuiver bolvormig. De kortste afstand tussen bijvoorbeeld Amsterdam Schiphol Airport (AMS) en Los Angeles International Airport (LAX) kan men als volgt berekenen. De geografische coördinaten van Schiphol zijn $\boldsymbol{\phi}_A$= 52º 18'31" $\mathbf{L}_a$ = - 4º45'50" en die van L.A. Int. Airport zijn $\boldsymbol{\phi}_B =$33º56'33" $\mathbf{L}_b =$ 118º24'29".

De grondformule (G) toegepast op de geografische driehoek PAB geeft:

$\cos x = \cos (90^\circ- \boldsymbol{\phi}_A) \cdot \cos (90^\circ- \boldsymbol{\phi}_B) + \sin (90^\circ-\boldsymbol{\phi}_A) \cdot \sin (90^\circ-\boldsymbol{\phi}_B) \cdot \cos \mid L_b - L_a \mid$

$\cos x = \sin \phi_A \cdot \sin \phi_B + \cos \phi_A \cdot \cos \phi_B \cdot \cos |L_b-L_a|$

met de moderne rekenmachines hoeft men niet meer op logaritmen over te gaan en berekent men rechtstreeks

$\cos x = \sin 52^\circ18^\prime 31 '^\prime \cdot \sin 33^\circ56^\prime33'^\prime + \cos 52^\circ18^\prime31'^\prime \cdot \cos 33^\circ56^\prime33'^\prime \cdot \cos 123^\circ10^\prime9'^\prime$

Geografische coördinaten

$\cos x = \mathbf{0,164331076}$

of $x = 80^\circ 5416227 = 4832^\prime 49734838$

Nu is op aarde 1' = 1 zeemijl = 1852 m dus

$x = 4832^\prime 4973838 \cdot 1.852 m = 8.949.785 m = 8949,8 km$

De aarde is in werkelijkheid een ellipsoïde, daarmede is de werkelijke afstand iets groter maar de afwijking langs de geodetische lijn op de ellipsoïde en deze op de grootcirkel verschilt minder dan 0,2 %. Daar een vliegtuig verplicht is vluchtroutes te volgen is de afstand die het aflegt aanmerkelijk groter dan de boven berekende waarde.

Praktisch voorbeeld 2

Gevraagd wordt welke koers een schip bij afvaart moet nemen wanneer het, over de kortste weg, van het punt A naar het punt B (waarvan de geografische coördinaten bekend zijn) vaart. De koers van een schip is de hoek die zijn vaarrichting maakt met de meridiaan naar noord.

Koers van een schip bij afvaart

Geografische coördinaten

Een schip vaart, over de kortste weg, van het punt A (Chili) naar het punt B (Nieuw-Zeeland).

A= ($\boldsymbol{\phi}_A =$33°2' ZB, $\mathbf{L}_a$ = 74°3'WL)

B = ($\boldsymbol{\phi}_B =$ 43°51'ZB, $\mathbf{L}_b$ =170°45' OL)

Welke koers moet het schip bij afvaart nemen?

Van de nautische boldriehoek PAB zijn de twee zijden b en c en de ingesloten hoek $\boldsymbol{\alpha}$ bekend, het komt er dus op aan van de hoek $\boldsymbol{\beta}$ te bepalen. De koers bij afvaart is dan gelijk aan $180^\circ - \boldsymbol{\beta}$.

Toepassing van de derde cotangensregel geeft:

$\cot \beta = \frac{\cot b \cdot \sin c - \cos b \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha}$

$\cot \beta = \frac{\cot (90^\circ - \boldsymbol{\phi}_B) \cdot \sin (90^\circ - \boldsymbol{\phi}_A) - \cos (90^\circ - \boldsymbol{\phi}_A) \cdot \cos |L_b -L_a|}{\sin |L_b - L_a|}$

$\cot \beta = \frac{\tan \phi_B \cdot \cos \phi_A - \sin \phi_A \cdot \cos |L_b - L_a|}{\sin |L_b - L_a|}$

$\cot \beta = \frac{\tan 43^\circ51^\prime \cdot \cos 33^\circ 2^\prime - \sin 33^\circ 2^\prime \cdot \cos 244^\circ 48^\prime}{\sin 244^\circ 48^\prime}$

Na enige rekenwerk bekomt men:

$\cot \boldsymbol{\beta} = \tan (90^\circ - \boldsymbol{\beta}) = -1,146585376$

of

$90^\circ - \boldsymbol{\beta} = -48^\circ,90653215 \rightarrow \boldsymbol{\beta} = 41^\circ,09346785 = 41^\circ 5^\prime 36'^\prime$

De koers bij afvaart moet dus $180^\circ - \boldsymbol{\beta} = 138^\circ 54^\prime 23'^\prime$ zijn. Dit is de kortste hoek tussen Noord en Afvaartkoers.

Omdat kompaskoersen altijd uitgedrukt worden in graden vanaf het noorden rechtsom moet met hier bij afvaart de volgende kompas-koers 221,1˚ voorliggen:

$360^\circ - 138^\circ 54^\prime = 221^\circ 06^\prime = 221,1^\circ$ (ZW)

Om van het punt A naar het punt B te varen moet het schip trouwens een afstand van 9232,2 km afleggen. (zie voorbeeld 1)