Boldriehoeksmeting

Boldriehoek

De boldriehoeksmeting, sferische goniometrie of sferische trigonometrie is een belangrijk deelgebied van de bolmeetkunde. Ze houdt zich voornamelijk bezig met de berekening van de elementen (zijden en hoeken) van boldriehoeken.

Typische toepassingen zijn:

• Afstandsberekeningen tussen twee punten op het aardoppervlak als hun geografische coördinaten gegeven zijn.
• Bepaling van de positie van een ster aan de hemelbol met behulp van de sterrenkundige driehoek.

Historische achtergrond

De ontwikkeling van de boldriehoeksmeting is nauw verbonden met astronomie. Omstreeks 350 jaar voor Christus dachten de oude Grieken daarom reeds over bolmeetkunde na. Maar het zijn de Arabieren, die – voortbouwend op hetgeen de Grieken en de Indiërs ontdekt hadden – in het jaar 900 de sinusregel ontdekten. Tijdens de ontdekkingsreizen van de 15de eeuw ontstond er een grote behoefte aan hulpmiddelen voor het bepalen van afstanden en posities op zee. Het is rond deze periode dat de boldriehoeksmeting een forse ontwikkeling doormaakte. De sinusregel, de tangensformules en cosinusregel voor de zijden van de driehoek werden in die tijd reeds aangewend. Een eeuw later vond men de cosinusregel voor de hoeken (de tweede cosinusregel). In de 17de eeuw werden nieuwe wiskundige technieken, zoals de logaritmen, ontwikkeld en werden de nieuwe methoden van de boldriehoeksmeting op vele gebieden, zoals de cartografie, toegepast.

Eenheidsbolconventie in dit artikel

Tenzij anders vermeld wordt hieronder met een bol een eenheidsbol bedoeld. De lengte van een boog van een grootcirkel is dan gelijk aan de middelpuntshoek die op deze boog staat.

De boldriehoek

Een boldriehoek wordt gevormd door drie punten $A,B$ en $C$ van een boloppervlak die niet op een grootcirkel liggen en die verbonden zijn door bogen van grootcirkels die kleiner zijn dan halve cirkels. De punten $A,B$ en $C$ heten de hoekpunten van de boldriehoek, de bogen $a=BC,\,b=CA$, en $c=AB$ de zijden en de bolhoeken $\alpha =BAC,\,\beta =CBA$ en $\gamma =ACB$ de hoeken van de boldriehoek.

In de bolmeetkunde geldt:

1. elke zijde van een boldriehoek is kleiner dan de som van de beide andere;
2. de omtrek van een boldriehoek is kleiner dan die van een grootcirkel

Basisformule

De basisformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is de betrekking tussen de drie zijden en één hoek van een boldriehoek. Met behulp van de driehoeksmeting en enkele stellingen van de bolmeetkunde kan men deze basisformule afleiden.

Voor boldriehoek $ABC$ geldt:

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha$

en analoog voor de andere zijden en hoeken.

De ${\boldsymbol {\tau }}$ (tau)-transformaties

Nevendriehoeken en pooldriehoeken

Nevenhoek

De zijden $AB$ en $AC$ van de boldriehoek $ABC$ snijden elkaar een tweede maal in het tegenpunt $A'$ van $A$. De driehoek $A'BC$ heet de nevendriehoek van $ABC$ ten opzichte van het punt $A$. Noemt men $a',b',c',A',B',C'$ de elementen van die nevendriehoek, dan is

${\begin{matrix}a'=a&b'=\pi -b&c'=\pi -c\\\alpha '=\alpha &\beta '=\pi -\beta &\gamma '=\pi -\gamma \end{matrix}}$

Pooldriehoek

Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen, namelijk de eindpunten van de middellijn die loodrecht op het vlak van de cirkel staat.

De grootcirkel door $BC$ van de boldriehoek $ABC$ heeft twee polen. De pool die aan dezelfde kant ligt als $A$ noemt men de pool $A_{1}$ van $A$. De driehoek $A_{1}B_{1}C_{1}$ gevormd door de polen van de drie hoekpunten heet de pooldriehoek van $ABC$.

In de bolmeetkunde bewijst men dat elke zijde van een der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn. Daarmee is

${\begin{matrix}a_{1}=\pi -\alpha &b_{1}=\pi -\beta &c_{1}=\pi -\gamma \\\alpha _{1}=\pi -a&\beta _{1}=\pi -b&\gamma _{1}=\pi -c\end{matrix}}$

Heeft men nu een betrekking tussen de elementen van een willekeurige boldriehoek van de vorm:

$F(a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma )=0$,

dan geldt deze betrekking ook voor de nevendriehoek en de pooldriehoek en men krijgt dus twee nieuwe betrekkingen:

$F(a',b',c',\alpha ',\beta ',\gamma ')=0$

of

$F(a,\pi -b,\pi -c,\alpha ,\pi -\beta ,\pi -\gamma )=0\quad$ (1)

en

$F(a_{1},b_{1},c_{1},\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1})=0$

of

$F(\pi -\alpha ,\pi -\beta ,\pi -\gamma ,\pi -a,\pi -b,\pi -c)=0\quad$ (2)

Men zegt dat deze betrekkingen door een $\tau$-transformatie van elkaar kunnen worden afgeleid.

Sferisch exces

Het sferisch exces $E$ van een boldriehoek is het verschil van de som van de hoeken en een gestrekte hoek:

$E=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Er geldt $E$ is positief en kleiner dan elke hoek.

Meer algemeen is het sferisch exces $E$ van een bol-n-driehoek de som van de hoeken, verminderd met $(n-2)\pi$.

$E$ is gelijk aan de oppervlakte, en dus ook gelijk aan de ruimtehoek vanuit het middelpunt van de bol.

Omtrek

Voor de omtrek van een boldriehoek geldt:

$a+b+c<2\pi$

Formules van de halve hoeken in functie van de zijden

$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin p\cdot \sin(p-a)}{\sin b\cdot \sin c}}}\quad$ (C)

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(p-b)\cdot \sin(p-c)}{\sin b\cdot \sin c}}}\quad$ (S)

$\tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(p-b)\cdot \sin(p-c)}{\sin p\cdot \sin(p-a)}}}$

De sinusregel

Uit voorgaande formules volgt:

${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$

In woorden: de sinussen der hoeken van een boldriehoek verhouden zich als de sinussen der overstaande zijden.

De tweede cosinusregel

Toepassing van de ${\boldsymbol {\tau }}$-transformatie op de basisformule geeft:

$\cos \alpha =-\cos \beta \cdot \cos \gamma +\sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos a$

en analoog voor de overige zijden.

De tweede cosinusregel wordt aan François Viète toegeschreven.

De cotangensregel

De cotangensregel is een betrekking tussen twee zijden, de ingesloten hoek en de overstaande hoek.

$\cot a\cdot \sin b=\cos b\cdot \cos \gamma +\sin \gamma \cdot \cot \alpha$

De rechthoekige boldriehoek

Een driehoek heet rechthoekig als een van zijn hoeken recht is. Als bijvoorbeeld de hoek $\alpha$ recht is, heten de beide andere hoeken $\beta$ en $\gamma$ scheef. De zijde $a$ is de schuine zijde en $b$ en $c$ zijn de rechthoekszijden. Er geldt dus $\alpha =\pi /2$, zodat:

$\cos a=\cos b\cdot \cos c$

$\sin b=\sin a\cdot \sin \beta$

$\sin c=\sin a\cdot \sin \gamma$

$\cot a=\cot c\cdot \cos \beta$

$\cot a=\cot b\cdot \cos \gamma$

$\cot c\cdot \sin b=\cot \gamma$

$\cot b\cdot \sin c=\cot \beta$

$\cos \beta =\cos b\cdot \sin \gamma$

$\cos \gamma =\cos c\cdot \sin \beta$

$\cos a=\cot \beta \cdot \cot \gamma$

De formules van Delambre

Delambre publiceerde in 1807 de volgende formules zonder bewijs:

${\begin{matrix}{\cfrac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\cfrac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}&{\cfrac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\cfrac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\\&\\{\cfrac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\cfrac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}&{\cfrac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\cfrac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}\end{matrix}}$

De analogieën van Neper

Als men de overeenkomstige leden van de formules van Delambre deelt dan bekomt men de analogieën van Neper:

${\begin{matrix}{\cfrac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cot {\frac {\gamma }{2}}}}={\cfrac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}&{\cfrac {\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cot {\frac {\gamma }{2}}}}={\cfrac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\\&\\{\cfrac {\tan {\frac {a+b}{2}}}{\tan {\frac {c}{2}}}}={\cfrac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}&{\cfrac {\tan {\frac {a-b}{2}}}{\tan {\frac {c}{2}}}}={\cfrac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}\end{matrix}}$

Formules die uit het sferisch exces kunnen worden afgeleid

Uitdrukkingen voor de halve zijde

Toepassing van de ${\boldsymbol {\tau }}$-transformatie voor de pooldriehoek op de formules (C) en (S) geeft:

$\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {\sin {\frac {E}{2}}\cdot \sin(\alpha -{\frac {E}{2}})}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}$

$\cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(\beta -{\frac {E}{2}})\cdot \sin(\gamma -{\frac {E}{2}})}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}$

$\tan {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {\sin {\frac {E}{4}}\cdot \sin(\alpha -{\frac {E}{4}})}{\sin(\beta -{\frac {E}{4}})\cdot \sin(\gamma -E)}}}$

Uitdrukkingen voor het sferisch exces E

$\sin {\frac {E}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}\cdot \sin {\frac {b}{2}}\cdot \sin \gamma }{\cos {\frac {c}{2}}}}$

Formule van Cagnoli:

$\cot {\frac {E}{2}}={\frac {\cot {\frac {a}{2}}\cdot \cot {\frac {b}{2}}+\cos \gamma }{\sin \gamma }}$

Formule van Euler:

$\cos {\frac {E}{2}}={\frac {1+\cos a+\cos b+\cos c}{4\cdot \cos {\frac {a}{2}}\cdot \cos {\frac {b}{2}}\cdot \cos {\frac {c}{2}}}}$

Formule van LHuillier:

$\tan {\frac {E}{4}}={\sqrt {\tan {\frac {p}{2}}\cdot \tan {\frac {p-a}{2}}\cdot \tan {\frac {p-b}{2}}\cdot \tan {\frac {p-c}{2}}}}$

De eerste en de laatste formule zijn reeds logaritmisch.

Toepassingen

Navigatie en afstandsbepaling op aarde

Geografische coördinaten

Definitie geografische coördinaten

De geografische coördinaten van een punt A op de aardbol zijn:

• de lengte $L_{A}$, dit is de hoek die de meridiaan $PAP'$ door $A$ maakt met de nulmeridiaan ($PWP'$) (de meridiaan van Greenwich) of ook nog de tussen deze twee meridianen gelegen boog $WA'$ aan de evenaar, men onderscheidt ooster- en westerlengte;
• de breedte $\varphi _{A}$, dit is de sferische afstand $AA'$ van het punt $A$ tot de evenaar; men onderscheidt noorder- en zuiderbreedte.

Praktisch voorbeeld 1

Gevraagd wordt de kortste afstand tussen twee plaatsen op (een bolvormige) aarde wanneer de geografische coördinaten breedte $\varphi$ en lengte $L$ bekend zijn.

Kortste afstand tussen twee punten op aarde

Men veronderstelt de aarde zuiver bolvormig. De kortste afstand $x$ tussen bijvoorbeeld Amsterdam Schiphol Airport (AMS), punt $A$ en Los Angeles International Airport (LAX), punt $B$ is de lengte van de boog $AB$ over een grootcirkel. De geografische coördinaten van Schiphol zijn $\varphi _{A}=52^{\circ }18'31'',\,L_{A}=4^{\circ }45'50''$ en die van L.A. Int. Airport zijn $\varphi _{B}=33^{\circ }56'33'',\,L_{B}=-118^{\circ }24'29''$.

Toepassen van de basisformule op de geografische driehoek $PAB$ geeft:

$\cos x=\cos(90^{\circ }-\varphi _{A})\cdot \cos(90^{\circ }-\varphi _{B})+\sin(90^{\circ }-\varphi _{A})\cdot \sin(90^{\circ }-\varphi _{B})\cdot \cos |L_{B}-L_{A}|$

of

$\cos x=\sin \varphi _{A}\cdot \sin \varphi _{B}+\cos \varphi _{A}\cdot \cos \varphi _{B}\cdot \cos |L_{b}-L_{a}|$,

zodat

$\cos x=\sin 52^{\circ }18'31''\cdot \sin 33^{\circ }56'33''+\cos 52^{\circ }18'31''\cdot \cos 33^{\circ }56'33''\cdot \cos 123^{\circ }10'9''$

$=0{,}164331076$

Geografische coördinaten

Daaruit volgt

$x=80{,}5416227^{\circ }=4832{,}49734838'$

Nu is op aarde 1' = 1 zeemijl = 1852 m, dus

$x=4832{,}4973838\times 1{,}852\,{\text{km}}=8949{,}8\,{\text{km}}$

De aarde is in werkelijkheid een ellipsoïde, daarmede is de werkelijke afstand iets groter maar de afwijking langs de geodetische lijn op de ellipsoïde en deze op de grootcirkel verschilt minder dan 0,2 %. Daar een vliegtuig verplicht is vluchtroutes te volgen is de afstand die het aflegt aanmerkelijk groter dan de boven berekende waarde.

Praktisch voorbeeld 2

Koers van een schip bij afvaart

Geografische coördinaten

Welke koers moet een schip bij afvaart nemen, om over de kortste weg, van het punt $A$ (Chili) naar het punt $B$ (Nieuw-Zeeland) te varen.

$\varphi _{A}=33^{\circ }2'\,{\text{ZB}},\,L_{A}=74^{\circ }3'\,{\text{WL}}$

en

$\varphi _{B}=43^{\circ }51'\,{\text{ZB}},\,L_{B}=170^{\circ }45'\,{\text{OL}}$

Van de nautische boldriehoek $PAB$ zijn de twee zijden $b$ en $c$, en de ingesloten hoek $\alpha$ bekend. Het komt er dus op aan de hoek $\beta$ te bepalen. De koers bij afvaart, de hoek met de meridiaan, is dan gelijk aan $180^{\circ }-\beta$.

Toepassing van de derde cotangensregel geeft:

$\cot \beta ={\frac {\cot b\cdot \sin c-\cos b\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }}$

$={\frac {\cot(90^{\circ }-\varphi _{B})\cdot \sin(90^{\circ }-\varphi _{A})-\cos(90^{\circ }-\varphi _{A})\cdot \cos |L_{B}-L_{A}|}{\sin |L_{B}-L_{A}|}}$

$={\frac {\tan \varphi _{B}\cdot \cos \varphi _{A}-\sin \varphi _{A}\cdot \cos |L_{B}-L_{A}|}{\sin |L_{B}-L_{A}|}}$

$={\frac {\tan 43^{\circ }51'\cdot \cos 33^{\circ }2'-\sin 33^{\circ }2'\cdot \cos 244^{\circ }48'}{\sin 244^{\circ }48'}}$

Na enige rekenwerk volgt:

$\cot \beta =\tan(90^{\circ }-\beta )=-1{,}146585376$,

zodat

$90^{\circ }-\beta =-48{,}90653215^{\circ }$

of

$\beta =41{,}09346785^{\circ }=41^{\circ }5'36''$

De koers bij afvaart moet dus $180^{\circ }-\beta =138^{\circ }54'23''$ zijn.

Dit is de kortste hoek tussen Noord en Afvaartkoers.

Omdat kompaskoersen altijd uitgedrukt worden in graden vanaf het noorden rechtsom, moet bij afvaart de kompas-koers

$360^{\circ }-138^{\circ }54=221^{\circ }06'=221{,}1^{\circ }$ (ZW)

voorliggen.