De boldriehoeksmeting, sferische goniometrie of sferische trigonometrie is een belangrijk deelgebied van de bolmeetkunde. Ze houdt zich voornamelijk bezig met de berekening van de elementen (zijden en hoeken) van boldriehoeken.
Typische toepassingen zijn:
- Afstandsberekeningen tussen twee punten op het aardoppervlak als hun geografische coördinaten gegeven zijn.
- Bepaling van de positie van een ster aan de hemelbol met behulp van de sterrenkundige driehoek.
De ontwikkeling van de boldriehoeksmeting is nauw verbonden met astronomie. Omstreeks 350 jaar voor Christus dachten de oude Grieken daarom reeds over bolmeetkunde na. Maar het zijn de Arabieren, die – voortbouwend op hetgeen de Grieken en de Indiërs ontdekt hadden – in het jaar 900 de sinusregel ontdekten. Tijdens de ontdekkingsreizen van de 15de eeuw ontstond er een grote behoefte aan hulpmiddelen voor het bepalen van afstanden en posities op zee. Het is rond deze periode dat de boldriehoeksmeting een forse ontwikkeling doormaakte. De sinusregel, de tangensformules en cosinusregel voor de zijden van de driehoek werden in die tijd reeds aangewend. Een eeuw later vond men de cosinusregel voor de hoeken (de tweede cosinusregel). In de 17de eeuw werden nieuwe wiskundige technieken, zoals de logaritmen, ontwikkeld en werden de nieuwe methoden van de boldriehoeksmeting op vele gebieden, zoals de cartografie, toegepast.
Tenzij anders vermeld wordt hieronder met een bol een eenheidsbol bedoeld. De lengte van een boog van een grootcirkel is dan gelijk aan de middelpuntshoek die op deze boog staat.
Een boldriehoek wordt gevormd door drie punten
en
van een boloppervlak die niet op een grootcirkel liggen en die verbonden zijn door bogen van grootcirkels die kleiner zijn dan halve cirkels. De punten
en
heten de hoekpunten van de boldriehoek, de bogen
, en
de zijden en de bolhoeken
en
de hoeken van de boldriehoek.
In de bolmeetkunde geldt:
- elke zijde van een boldriehoek is kleiner dan de som van de beide andere;
- de omtrek van een boldriehoek is kleiner dan die van een grootcirkel
De basisformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is de betrekking tussen de drie zijden en één hoek van een boldriehoek. Met behulp van de driehoeksmeting en enkele stellingen van de bolmeetkunde kan men deze basisformule afleiden.
Voor boldriehoek
geldt:

en analoog voor de andere zijden en hoeken.
De
(tau)-transformaties[bewerken | brontekst bewerken]
De zijden
en
van de boldriehoek
snijden elkaar een tweede maal in het tegenpunt
van
. De driehoek
heet de nevendriehoek van
ten opzichte van het punt
. Noemt men
de elementen van die nevendriehoek, dan is

Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen, namelijk de eindpunten van de middellijn die loodrecht op het vlak van de cirkel staat.
De grootcirkel door
van de boldriehoek
heeft twee polen. De pool die aan dezelfde kant ligt als
noemt men de pool
van
. De driehoek
gevormd door de polen van de drie hoekpunten heet de pooldriehoek van
.
In de bolmeetkunde bewijst men dat elke zijde van een der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn. Daarmee is

Heeft men nu een betrekking tussen de elementen van een willekeurige boldriehoek van de vorm:
,
dan geldt deze betrekking ook voor de nevendriehoek en de pooldriehoek en men krijgt dus twee nieuwe betrekkingen:

of
(1)
en

of
(2)
Men zegt dat deze betrekkingen door een
-transformatie van elkaar kunnen worden afgeleid.
Het sferisch exces
van een boldriehoek is het verschil van de som van de hoeken en een gestrekte hoek:

Er geldt
is positief en kleiner dan elke hoek.
Meer algemeen is het sferisch exces
van een bol-n-driehoek de som van de hoeken, verminderd met
.
is gelijk aan de oppervlakte, en dus ook gelijk aan de ruimtehoek vanuit het middelpunt van de bol.
Voor de omtrek van een boldriehoek geldt:

Formules van de halve hoeken in functie van de zijden[bewerken | brontekst bewerken]
(C)
(S)

Uit voorgaande formules volgt:

In woorden: de sinussen der hoeken van een boldriehoek verhouden zich als de sinussen der overstaande zijden.
Toepassing van de
-transformatie op de basisformule geeft:

en analoog voor de overige zijden.
De tweede cosinusregel wordt aan François Viète toegeschreven.
De cotangensregel is een betrekking tussen twee zijden, de ingesloten hoek en de overstaande hoek.

Een driehoek heet rechthoekig als een van zijn hoeken recht is. Als bijvoorbeeld de hoek
recht is, heten de beide andere hoeken
en
scheef. De zijde
is de schuine zijde en
en
zijn de rechthoekszijden. Er geldt dus
, zodat:










Delambre publiceerde in 1807 de volgende formules zonder bewijs:

Als men de overeenkomstige leden van de formules van Delambre deelt dan bekomt men de
analogieën van Neper:

Formules die uit het sferisch exces kunnen worden afgeleid[bewerken | brontekst bewerken]
Toepassing van de
-transformatie voor de pooldriehoek op de formules (C) en (S) geeft:




Formule van Cagnoli:

Formule van Euler:

Formule van LHuillier:

De eerste en de laatste formule zijn reeds logaritmisch.
De geografische coördinaten van een punt A op de aardbol zijn:
- de lengte
, dit is de hoek die de meridiaan
door
maakt met de nulmeridiaan (
) (de meridiaan van Greenwich) of ook nog de tussen deze twee meridianen gelegen boog
aan de evenaar, men onderscheidt ooster- en westerlengte;
- de breedte
, dit is de sferische afstand
van het punt
tot de evenaar; men onderscheidt noorder- en zuiderbreedte.
Gevraagd wordt de kortste afstand tussen twee plaatsen op (een bolvormige) aarde wanneer de geografische coördinaten breedte
en lengte
bekend zijn.
Men veronderstelt de aarde zuiver bolvormig. De kortste afstand
tussen bijvoorbeeld Amsterdam Schiphol Airport (AMS), punt
en Los Angeles International Airport (LAX), punt
is de lengte van de boog
over een grootcirkel. De geografische coördinaten van Schiphol zijn
en die van L.A. Int. Airport zijn
.
Toepassen van de basisformule op de geografische driehoek
geeft:

of
,
zodat

Daaruit volgt

Nu is op aarde 1' = 1 zeemijl = 1852 m, dus

De aarde is in werkelijkheid een ellipsoïde, daarmede is de werkelijke afstand iets groter maar de afwijking langs de geodetische lijn op de ellipsoïde en deze op de grootcirkel verschilt minder dan 0,2 %.
Daar een vliegtuig verplicht is vluchtroutes te volgen is de afstand die het aflegt aanmerkelijk groter dan de boven berekende waarde.
- Koers van een schip bij afvaart
Welke koers moet een schip bij afvaart nemen, om over de kortste weg, van het punt
(Chili) naar het punt
(Nieuw-Zeeland) te varen.

en

Van de nautische boldriehoek
zijn de twee zijden
en
, en de ingesloten hoek
bekend. Het komt er dus op aan de hoek
te bepalen. De koers bij afvaart, de hoek met de meridiaan, is dan gelijk aan
.
Toepassing van de derde cotangensregel geeft:




Na enige rekenwerk volgt:
,
zodat

of

De koers bij afvaart moet dus
zijn.
Dit is de kortste hoek tussen Noord en Afvaartkoers.
Omdat kompaskoersen altijd uitgedrukt worden in graden vanaf het noorden rechtsom, moet bij afvaart de kompas-koers
(ZW)
voorliggen.