Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is een Brahmaguptamatrix een matrix , opgesteld in 628 door de Indiase wiskundige Brahmagupta , met een van de volgende structuren:
B
+
(
x
,
y
)
=
[
x
y
t
y
x
]
of
B
−
(
x
,
y
)
=
[
x
y
−
t
y
−
x
]
{\displaystyle B_{+}(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}{\mbox{ of }}B_{-}(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\-ty&-x\end{bmatrix}}}
Dit kan worden samengevat als:
B
(
x
,
y
,
s
)
=
[
x
y
s
t
y
s
x
]
{\displaystyle B(x,y,s)={\begin{bmatrix}x&y\\sty&sx\end{bmatrix}}}
waarin
s
=
±
1
{\displaystyle s=\pm 1}
Dan is:
B
+
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
,
1
)
{\displaystyle B_{+}(x,y)=B(x,y,1)}
B
−
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
,
−
1
)
{\displaystyle B_{-}(x,y)=B(x,y,-1)}
Het product van twee Brahmaguptamatrices is weer een Brahmaguptamatrix, want:
B
(
x
1
,
y
1
,
s
1
)
B
(
x
2
,
y
2
,
s
2
)
=
[
x
1
y
1
s
1
t
y
1
s
1
x
1
]
[
x
2
y
2
s
2
t
y
2
s
2
x
2
]
=
{\displaystyle B(x_{1},y_{1},s_{1})B(x_{2},y_{2},s_{2})={\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\s_{1}ty_{1}&s_{1}x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}&y_{2}\\s_{2}ty_{2}&s_{2}x_{2}\end{bmatrix}}=}
=
[
x
1
x
2
+
s
2
t
y
1
y
2
x
1
y
2
+
s
2
y
1
x
2
s
1
t
y
1
x
2
+
s
1
s
2
t
x
1
y
2
s
1
t
y
1
y
2
+
s
1
s
2
x
1
x
2
]
=
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2}&x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2}\\s_{1}ty_{1}x_{2}+s_{1}s_{2}tx_{1}y_{2}&s_{1}ty_{1}y_{2}+s_{1}s_{2}x_{1}x_{2}\end{bmatrix}}=}
=
[
x
1
x
2
+
s
2
t
y
1
y
2
x
1
y
2
+
s
2
y
1
x
2
s
1
s
2
t
(
x
1
y
2
+
s
2
y
1
x
2
)
s
1
s
2
(
x
1
x
2
+
s
2
t
y
1
y
2
)
]
=
B
(
x
1
x
2
+
s
2
t
y
1
y
2
,
x
1
y
2
+
s
2
y
1
x
2
,
s
1
s
2
)
.
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2}&x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2}\\s_{1}s_{2}t(x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2})&s_{1}s_{2}(x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2})\end{bmatrix}}=B(x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2},s_{1}s_{2}).}
De n -de macht van een Brahmaguptamatrix wordt geschreven als:
B
n
=
B
n
=
[
x
y
t
y
x
]
n
=
[
x
n
y
n
t
y
n
x
n
]
.
{\displaystyle B_{n}=B^{n}={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}.}
Daarin zijn
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
y
n
{\displaystyle \ y_{n}}
polynomen in t die Brahmaguptapolynomen worden genoemd. Deze zijn ook voor negatieve gehele getallen gedefinieerd door:
B
−
n
=
B
−
n
=
[
x
y
t
y
x
]
−
n
=
[
x
−
n
y
−
n
t
y
−
n
x
−
n
]
.
{\displaystyle B_{-n}=B^{-n}={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{-n}={\begin{bmatrix}x_{-n}&y_{-n}\\ty_{-n}&x_{-n}\end{bmatrix}}.}
Externe links
