Carlylecirkel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een carlylecirkel is een cirkel in de vlakke meetkunde die, ten opzichte van een vastgelegd rechthoekig coördinatenstelsel, verbonden is met een vierkantsvergelijking. De cirkel gaat door het punt (0,1) en de wortels van de vergelijking. De cirkel is genoemd naar de Schotse schrijver, historicus en wiskundige Thomas Carlyle (1795–1881).[1]

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Fig. 1 - Carlylecirkel K; de lila lijn is de parabool

Bij de vergelijking is de cirkel die in het beschouwde rechthoekige coördinatenstelsel het lijnstuk met en als middellijn heeft, de carlylecirkel van die vergelijking.

Analyse[bewerken | brontekst bewerken]

In de figuur rechts (fig. 1) is de carlylecirkel getekend van de vierkantsvergelijking , dus met middellijn , waarbij en . De punten , zijn de snijpunten van met de -as en is het middelpunt van . De punten en zijn de loodrechte projecties van op respectievelijk de - en de -as. is de loodrechte projectie van op de -as. Omdat recht is, ligt op de cirlkel. Volgens de machtstelling voor een cirkel is:

Voor de -coördinaten en van respectievelijk en geldt dus:

Omdat het midden is van het lijnstuk , en daarmee ook van het lijnstuk is:

,

dus

en zijn dus inderdaad de wortels van de vergelijking .

Constructie van een regelmatige vijfhoek[bewerken | brontekst bewerken]

Fig. 2 - Constructie van een regelmatige vijfhoek
Toepassing van een carlylecirkel

Het construeren van een regelmatige vijfhoek is equivalent met het tekenen van de oplossingen van de vergelijking in het complexe vlak.[2] Deze oplossingen liggen alle op de eenheidscirkel en hebben een argument dat een veelvoud is van (zie fig. 2).

Omdat een oplossing is van die vergelijking, voldoen de andere oplossingen aan de vergelijking:

Het paar , en ook het paar , ligt symmetrisch ten opzichte van de reële as. Daarom zijn en reële getallen.

Omdat volgt direct dat . Verder is , waaruit volgt dat en oplossingen zijn van de vergelijking . Bij die vergelijking hoort de carlylecirkel waarvan het punt een eindpunt van een middellijn is. Met is dan het middelpunt van die cirkel.

De punten zijn dan te construeren als snijpunten van de middelloodlijn van het lijnstuk met de eenheidscirkel, en als snijpunten van de middelloodlijn van het lijnstuk met de eenheidscirkel.

Opmerkingen
  • Alle noodzakelijke constructiestappen kunnen bij een gegeven cartesisch assenstelsel met passer en (ongemerkte) liniaal worden uitgevoerd.
  • Carlylecirkels kunnen ook worden gebruikt bij de constructie van de regelmatige 17-hoek, 257-hoek en de 65537-hoek. In deze gevallen is er evenwel sprake van een serie na elkaar te construeren carlylecirkels, met (steeds) ingewikkelder vierkantsvergelijkingen.[3]

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Literatuur[bewerken | brontekst bewerken]

  • John H. Conway, Richard K. Guy (1996): The Book of Numbers. New York (USA): Springer Verlag Inc.; pp. 181–210.
  • D.E. Joyce (1996): Euclid’s Elements, Book IV, Prop. 11 (To inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle). Worcester (MA, USA): Department of Mathematics and Computer Science, Clark University.
  • G.F. Seelinger, B.E. Kinser (2008): Revisiting Thomas Carlyle and Mathematics.[dode link] Pdf-document In: Carlyle Studies Annual, vol. 24; pp. 67–75.

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]

Noten[bewerken | brontekst bewerken]

  1. Deze cirkel wordt (voornamelijk in Duitstalige literatuur) ook Lill-cirkel genoemd; naar de Oostenrijkse ingenieur Eduard Lill (1830–1900).
  2. R. Kaenders, Reinhard Schmidt et al. (2014): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. Wiesbaden (D): Springer Spektrum, 2e editie; pp. 68-71.
  3. Duane W. DeTemple (1991): Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions. Pdf-document In: The American Mathematical Monthly, vol. 98, nr. 2; pp. 97-108. Via: InternetArchive.