Cilindercoördinaten

Cilindercoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, gelijkend op het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als bij poolcoördinaten vormen $r$ en $\theta$ de eerste twee coördinaten, de derde coördinaat wordt gegeven door $z$ . Hierbij is:

$r$ de afstand van het punt tot de $z$ -as.
$\theta$ de hoek tussen de verbindingslijn van de oorsprong met de projectie van het punt op het $xy$ -vlak en de positieve $x$ -as.
$z$ de afstand van het punt tot aan het $xy$ -vlak.

Het verband met de cartesische coördinaten $x$ en $y$ wordt gegeven door:

x=r\ \cos(\theta )

y=r\ \sin(\theta )

De $z$ -coördinaat is dezelfde in beide stelsels.

Het gebruik van cilindercoördinaten is, net als bij poolcoördinaten, handig als er bij een object sprake is van symmetrie rond een as, bijvoorbeeld een cilinder.

Jacobiaan

De Jacobiaan van de transformatie is:

J={\frac {\partial (r,\theta ,z)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&0\\{\frac {-y}{r^{2}}}&{\frac {x}{r^{2}}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\-{\frac {1}{r}}\sin(\theta )&{\frac {1}{r}}\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

Omgekeerd:

{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-r\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&r\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&-y&0\\{\frac {y}{r}}&x&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

Vectorveld

Het is gebruikelijk een vectorveld

F(x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))

in poolcoördinaten te ontbinden in een component $F_{r}$ langs de poolstraal in het $xy$ -vlak, een component $F_{\theta }$ loodrecht daarop in de richting van de hoek $\theta$ en als derde component $F_{z}$ . Voor deze componenten geldt:

F_{r}=\ F_{x}\cos(\theta )+F_{y}\sin(\theta )

F_{\theta }=-F_{x}\sin(\theta )+F_{y}\cos(\theta )

Omgekeerd:

F_{x}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )

F_{y}=F_{r}\sin(\theta )+F_{\theta }\cos(\theta )

Zie ook