Cirkels van Johnson

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

██ cirkels van Johnson

██ driehoek van Johnson

██ daarvan de omgeschreven cirkel

Drie cirkels van Johnson zijn drie cirkels met dezelfde straal die elkaar in één gemeenschappelijk punt J snijden.

Buiten dit gemeenschappelijk punt snijden ze elkaar twee aan twee in drie punten die de driehoek van Johnson vormen.

Er gelden de volgende eigenschappen:

  • De drie middelpunten van de drie cirkels van Johnson liggen op een cirkel met dezelfde straal als de cirkels van Johnson en met als middelpunt J.
  • De drie hoekpunten van de driehoek van Johnson liggen ook op een cirkel met dezelfde straal als de cirkels van Johnson. Dit is de stelling van Johnson.
  • De omgeschreven cirkel aan driehoek van Johnson heeft als straal de diameter van de cirkels van Johnson en als middelpunt weer het gemeenschappelijk snijpunt.
  • De drie raakpunten van die omgeschreven cirkel aan de drie cirkels van Johnson vormen een driehoek die gelijkvormig is met de driehoek van Johnson, en in feite eruit verkregen door een vermenigvuldiging met factor 2 ten opzichte van J.
  • Die drie hoekpunten vormen een driehoek congruent aan de driehoek van Johnson.
  • De driehoek van Johnson en het punt J vormen een hoogtepuntssysteem.

Het midden van Johnson van een driehoek wordt met behulp van cirkels van Johnson gevonden.

De cirkels, driehoek en stelling van Johnson zijn naar de Amerikaanse wiskundige Roger A. Johnson genoemd, die hierover in 1916 publiceerde.