Deltoïde

Constructie van een deltoïde.

De deltoïde is een wiskundige planaire kromme die ontstaat door een kleine cirkel met straal r te laten wentelen binnenin een grote cirkel met straal R en waarbij geldt dat R = 3r. De deltoïde ontleent zijn naam aan de Griekse letter delta (Δ).

Vergelijkingen

De deltoïde kan, zoals alle curves, beschreven worden door een vergelijking.

Parametervergelijking

De parametervergelijking van de deltoïde wordt gegeven door:

$x=2a\cos(t)+a\cos(2t)\,$

$y=2a\sin(t)-a\sin(2t)\,$

waarbij a de straal is van de kleine cirkel.

Complexe coördinaten

De parametervergelijking in complexe coördinaten wordt gegeven door:

$z=2ae^{it}+ae^{-2it}\,$

De variabele t kan hierin geëlimineerd worden door gebruik te maken van de Cartesiaanse coördinaten:

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2})\,$

waarmee het een algebraïsche curve van de vierde graad is.

Singulariteiten

De deltoïde bezit 3 singulariteiten, corresponderend met volgende punten:

$t=0\,$

en

$t=\pm {\tfrac {2\pi }{3}}$

Oppervlakte

De oppervlakte van het gebied binnen de curve wordt gegeven door:

$A_{n}={\frac {(n-1)(n-2)}{n^{2}}}\pi a^{2}$

Voor n = 3 (de deltoïde) wordt dit:

$A_{3}={\frac {2}{9}}\pi a^{2}$

Booglengte

De booglengte van de deltoïde wordt gegeven door:

$S(t)={\frac {16}{9}}\sin ^{2}\left({\frac {3}{4}}t\right)$

Zie ook

• Cycloïde
• Nefroïde
• Superellips

Externe links

• (en) Deltoïde op MathWorld