Karakter (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Dirichlet-karakter)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de groepsrepresentatie, een deelgebied van de wiskunde, is een karakter (meestal) een speciaal type functie van een groep naar een lichaam/veld, meestal het lichaam van de complexe getallen. Afhankelijk van de soort groep waarop de representatie betrekking heeft, zijn er verschillende betekenissen.

Willekeurige groep[bewerken | brontekst bewerken]

Voor een groep is een karakter een groepshomomorfisme van de groep naar de multiplicatieve groep van de complexe getallen.

Topologische groep[bewerken | brontekst bewerken]

Als een topologische groep is, moet het karakter continu zijn.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • De verzameling karakters van een groep is een abelse groep met de bewerking:
  • Een karakter heet unitair als , dus als het beeld van op de eenheidscirkel ligt.
  • Een karakter is dan en slechts dan unitair, als
  • Voor een eindige groep zijn alle karakters unitair, immers, als de orde van de groep is, geldt voor alle :
  • De karakters van een groep komen overeen met de eendimensionale complexe representaties van . De unitaire karakters komen overeen met de unitaire eendimensionale representaties.
  • Een unitair karakter heet kwadratisch als de enige beelden –1 en +1 zijn. Is 1 het enige beeld dan heet het karakter triviaal.
  • Voor een karakter van een eindige groep geldt:
triviaal, dan .
niet triviaal, dan .

Dirichlet-karakter[bewerken | brontekst bewerken]

Een dirichlet-karakter is een karakter op de multiplicatieve groep . Dirichlet-karakters worden gebruikt om dirichlet-L-functies te definiëren, die meromorfe functies met een verscheidenheid aan interessante analytische eigenschappen zijn. Dirichlet-karakters zijn genoemd naar Johann Dirichlet.

Algebraïsche groep[bewerken | brontekst bewerken]

Voor een algebraïsche groep is een karakter een homomorfisme van naar de de multiplicatieve groep .

Karakter van een representatie[bewerken | brontekst bewerken]

Zie Karakter (groepsrepresentatie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een groep op de eindigdimensionale vectorruimte over het lichaam/veld is het karakter van een representatie van de functie

die aan het element het spoor van toevoegt: