Karakter (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de groepsrepresentatie, een deelgebied van de wiskunde, is een karakter (meestal) een speciaal type functie van een groep naar een lichaam/veld, meestal het lichaam van de complexe getallen. Afhankelijk van de soort groep waarop de representatie betrekking heeft, zijn er verschillende betekenissen.

Willekeurige groep[bewerken | brontekst bewerken]

Voor een groep is een karakter een groepshomomorfisme van de groep naar de multiplicatieve groep van de complexe getallen.

Topologische groep[bewerken | brontekst bewerken]

Als een topologische groep is, moet het karakter continu zijn.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • De verzameling karakters van een groep is een abelse groep met de bewerking:
  • Een karakter heet unitair als , dus als het beeld van op de eenheidscirkel ligt.
  • Een karakter is dan en slechts dan unitair, als
  • Voor een eindige groep zijn alle karakters unitair, immers, als de orde van de groep is, geldt voor alle :
  • De karakters van een groep komen overeen met de eendimensionale complexe representaties van . De unitaire karakters komen overeen met de unitaire eendimensionale representaties.
  • Een unitair karakter heet kwadratisch als de enige beelden –1 en +1 zijn. Is 1 het enige beeld dan heet het karakter triviaal.
  • Voor een karakter van een eindige groep geldt:
triviaal, dan .
niet triviaal, dan .

Dirichlet-karakter[bewerken | brontekst bewerken]

Een dirichlet-karakter is een karakter op de multiplicatieve groep . Dirichlet-karakters worden gebruikt om dirichlet-L-functies te definiëren, die meromorfe functies met een verscheidenheid aan interessante analytische eigenschappen zijn. Dirichlet-karakters zijn genoemd naar Johann Dirichlet.

Algebraïsche groep[bewerken | brontekst bewerken]

Voor een algebraïsche groep is een karakter een homomorfisme van naar de de multiplicatieve groep .

Karakter van een representatie[bewerken | brontekst bewerken]

Zie Karakter (groepsrepresentatie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een groep op de eindigdimensionale vectorruimte over het lichaam/veld is het karakter van een representatie van de functie

die aan het element het spoor van toevoegt: