Drievlakshoek

figuur 1. Dvh met hoekpunt T en zijden α, β en γ. ABA' en ACA' zijn twee van de drie hoeken van de dvh.

figuur 2. Dvh T.ABC waarbij TA, TB, TC de snijlijnen zijn van telkens twee vlakken.

figuur 3. Driehoekongelijkheid in een drievlakshoek.

Een drievlakshoek is een figuur in de stereometrie (ruimtemeetkunde). De figuur is dat deel van de ruimte dat begrensd wordt door drie hoeken, waarvan de benen drie halfrechten zijn die door één punt gaan en niet in één vlak liggen.

Een drievlakshoek (hier verder afgekort tot dvh) wordt soms ook ruimtedriehoek genoemd. De drie hoeken die de dvh begrenzen, zijn de zijden van de dvh. De benen van die hoeken zijn de ribben van de dvh. Het gemeenschappelijk punt van de ribben is het hoekpunt (soms ook top) van de dvh; zie figuur 1.

De zijden kunnen (indien gewenst) ook worden beschouwd als een deel van het vlak dat bepaald wordt door twee van de bedoelde halfrechten. Een dvh ontstaat dus als een van de manieren waarop drie vlakken elkaar kunnen snijden, namelijk als de snijlijnen van elk tweetal van die vlakken door hetzelfde punt (het hoekpunt van de dvh) gaan; zie figuur 2.

Hoeken en standhoeken

Van elk tweetal zijden (elk opgevat als een halfvlak) van de dvh kan een standvlak worden bepaald. Dat is een vlak dat loodrecht staat de gemeenschappelijke ribbe van die zijden. De standhoeken van de tweevlakshoeken zijn per definitie de hoeken van de dvh.

Twee stellingen

De dvh heeft eigenschappen die veel aan de eigenschappen van een driehoek doen denken.

• Stelling 1. Als twee zijden van een dvh gelijk zijn, dan zijn de hoeken tegenover deze zijden gelijk.
• Stelling 2. De som van twee zijden van een dvh is groter dan de derde zijde.

Bewijzen

Stelling 1 - Gegeven. Dvh T.ABC met β = ∠ATC, γ = ∠ATB en β = γ. Vlak(ABA') ⊥ TB en vlak(ACA') ⊥ TC; zie figuur 1.
Te bewijzen. ∠ABA' = ∠ACA'.
Bewijs. Er geldt ∠ABT = ∠ACT = 90°, ∠ATB = ∠ATC en AA' = AA'. Daarmee zijn de driehoeken ATB en ATC congruent (z,h,h), zodat AB = AC.
Ook is ∠AA'B = ∠AA'C = 90°. En dan blijkt dat ook de driehoeken ABA' en ACA' congruent (z,z,r) zijn. Dus: ∠ABA' = ∠ACA'. Wat te bewijzen was.

Stelling 2 – Gegeven. Dvh T.ABC waarvan γ de grootste zijde is; zie figuur 3.
Te bewijzen. α + β > γ.
Bewijs. Het te bewijzen kan worden vervangen door γ – β < α. Kies nu in het vlak ATB het punt C' zó dat ∠ATC' = ∠ATC = β. Dan moet worden bewezen dat ∠BTC' < ∠BTC.

Kies daartoe op de halfrechte TB het punt Q (willekeurig) en op de halfrechten OC' en OC de punten R' en R met TR' = TR. De lijn QR' snijdt TA in P. Zoals nu eenvoudig is na te gaan, zijn nu de driehoeken PTR en PTR' congruent (z,h,z), waaruit dan volgt dat PR = PR'. En in driehoek PQR geldt volgens de driehoeksongelijkheid:

PR + RQ > PQ

Aftrekking van PR = PR' geeft dan:

RQ > PQ – PR' = R'Q

De driehoeken QTR en QTR' hebben daarmee twee paren zijden gelijk, terwijl de derde zijde van de eerste groter is dan de derde zijde van de tweede. Volgens de (omgekeerde) scharnierstelling voor deze driehoeken is dan ∠QTR > ∠QTR', of ook α > γ – β. Wat te bewijzen was.

Voorbeelden

• In een driedimensionaal coördinatenstelsel zijn enkele dvh's aan te wijzen, bijvoorbeeld de dvh bepaald door de drie positieve coördinaatsassen.
• In een viervlak, in een kubus en in een regelmatig twaalfvlak is elk hoekpunt het hoekpunt van een dvh.

Zie ook

• Boldriehoeksmeting
• Tweevlakshoek
• Drievlakkenstelling
• Halfrechte (halve lijn)
• Viervlak
• Halfvlak
• Halfruimte

Literatuur

• P.M. van Bemmel (1911): De Ruimtedriehoek of Drievlakshoek - een hoofdstuk uit de ruimte-meetkunde, bewerkt voor leerlingen van Hoogere Burgerscholen en Gymnasia. Leeuwarden: Meijer en Schaafsma. Via: University of Michigan.
• A. van Dop, A. van Haselen: Stereometrie voor V.H. en M.O. Groningen: J.B. Wolters; 6e druk (1959).
• P. Molenbroek: Leerboek der Stereometrie. Groningen: P. Noordhoff n.v.; 8e druk, herzien door P. Wijdenes (1934).
• H.G. Telkamp (2006): Structuren van de veelvlakken. In: Nieuwe Wiskrant; jg. 25, nr. 4, pp. 11–17 (PDF-bestand, met bijlage).