Fréchetafgeleide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

De Fréchet afgeleide is een afbeelding tussen Banachruimten. Het is genoemd naar de Franse wiskundige Maurice Rene Fréchet.

De Fréchet-afgeleide is een generalisatie van het begrip totale afgeleide uit de differentiaalrekening (vergelijk dit met de Gâteaux-afgeleide dat een generalisatie is van het begrip richtingsafgeleide (c.q. partiële afgeleide)). In de natuurkunde noemt men een Fréchet-afgeleide een functionele afgeleide.

Definitie[bewerken]

Laat X en Y Banachruimten zijn, F: X → Y en U een open deel van X. Dan heet F Fréchet differentieerbaar in x ∈ X als er een continue lineaire operator bestaat waarvoor geldt

Relaties met de Gâteaux-afgeleide[bewerken]

  • Elke Fréchet-differentieerbare afbeelding is Gâteaux-differentieerbaar en de afgeleiden stemmen met elkaar overeen.
  • De omkering is niet juist. Wel geldt:
    Als F Gâteaux-differentieerbaar is op een open deel U van X en F' is continu en F'(u) is een begrensde lineaire afbeelding voor elke u∈ U, dan is F Fréchet-differentieerbaar.

Eigenschappen[bewerken]

  • Als een afbeelding F Fréchet-differentieerbaar is, dan is F continu. (Zie ook bij Gâteaux-afgeleiden waarvoor die eigenschap niet geldt!).
  • Als a en b scalairen zijn uit het grondlichaam (Be: grondveld) van X, dan geldt voor F,G: X → Y: (aF+bG)' = aF' + bG' .
  • De kettingregel: Als F : X → Y en G: Y → Z, dan geldt: (GoF)'(x) = G'(F(x)).F'(x)
  • Als X = Rn en Y = Rm, dan is de Fréchet afgeleide niets anders dan de totale afgeleide uit de differentiaalrekening.
  • De Fréchet-afgeleide is te generaliseren tot afgeleiden van hogere orde.

Zie ook[bewerken]