Givens-rotatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In numerieke lineaire algebra is een Givens-rotatie een rotatie in het vlak dat wordt gevormd door twee coördinaatassen. Givens-rotaties zijn genoemd naar de Amerikaanse wiskundige Wallace Givens.

Matrixvoorstelling[bewerken]

De Givens-rotatie in wijzerzin van een vector over een hoek van radialen in het vlak van de -de en -de coördinaatassen in een -dimensionele ruimte kan men berekenen uit het product van de Givens-matrix met de vector

De Givens-matrix is de vierkante -matrix

waarin en voorkomen op de snijpunten van de -de en -de rijen en kolommen. De andere elementen op de hoofddiagonaal zijn gelijk aan 1, en alle andere elementen van een Givens-matrix zijn nul. De vier elementen op de plaatsen en vormen de rotatiematrix van rotatie over de hoek .

Toepassing[bewerken]

De Givens-rotatie is numeriek stabiel. Givens-rotaties worden in numerieke lineaire algebra gebruikt om nulwaarden in vectoren en matrices te bekomen, bijvoorbeeld in het Jacobi-eigenwaarde algoritme of bij de berekening van de QR-decompositie van een matrix.

QR-decompositie[bewerken]

In de QR-decompositie vermenigvuldigt men de matrix achtereenvolgens links met Givens-rotaties zodanig dat de elementen onder de hoofddiagonaal nul worden en de matrix herleid wordt tot een bovendriehoeksmatrix . Elke vermenigvuldiging met een Givens-matrix verandert alleen de waarden in de -de en -de rij van de matrix.

De inverse, of equivalent de getransponeerde, van het product van de toegepaste Givens-rotaties vormt een orthogonale matrix zodat

Als in de -de kolom van de matrix onder de diagonaaal in de -de rij het getal staat, kan dat omgezet worden in 0 door een Givens-rotatie met en . Er moet voldaan worden aan:

waarin het element op de diagonaal is. Daaruit volgt dat:

Voorbeeld[bewerken]

De 3x3-matrix wordt met QR-decompositie herleid tot een bovendriehoeksmatrix met behulp van van Givens-rotaties.

Er zijn twee rotaties nodig om de elementen en om te zetten in 0. Noem de Givens-matrix die omzet in 0, dan worden

De matrixvermenigvuldiging geeft de volgende getransformeerde matrix:

Noem de Givens-matrix waarmee op nul gezet wordt. Daarvoor geldt

met

Met deze waarden levert de matrixvermenigvuldiging de bovendriehoeksmatrix R:

De matrix in de decompositie wordt dan gegeven door:

Dit is in dit voorbeeld de matrix: