Gram-Schmidtmethode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De Gram-Schmidtmethode is een algoritme waarmee men van een verzameling lineair onafhankelijke vectoren in een vectorruimte voorzien van een inproduct een met betrekking tot dat inproduct orthogonaal stelsel maakt, door van elke volgende vector de component te bepalen die orthogonaal is met alle vorige. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren, verkrijgt men een orthonormaal stelsel vectoren.

De methode is vernoemd naar Jørgen Pedersen Gram en Erhard Schmidt, maar is van oudere datum en werd al gevonden door Laplace en Cauchy. In de theorie van Lie-groepen is de methode gegeneraliseerd door Kenkichi Iwasawa.

Methode[bewerken]

In een vectorruimte met inproduct zijn de lineair onafhankelijke vectoren gegeven. De Gram-Schmidtmethode berekent de orthogonale vectoren als volgt:

voor is:

De formule toont hoe de projectie van op de vorige vectoren bepaald is als de som van de afzonderlijke projecties:

Voorbeeld[bewerken]

De drie vectoren in de met het gewone inproduct,

zijn lineair onafhankelijk en spannen een driedimensionale deelruimte op. In deze deelruimte kan met de Gram-Schmidtmethode uit de drie gegeven vectoren een orthogonale basis bepaald worden.

Eenvoudig is na te gaan dat: