Hessiaan

De hessiaan van een functie van meerdere variabelen is de matrix van tweede-orde partiële afgeleiden van die functie. De benaming wordt echter ook gebruikt voor de determinant van deze matrix.

Definitie

De hessiaan $H$ van de functie $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ is de matrix:

$H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}=$ (kortweg)$\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)$.

Indien $\mathrm {d} f$ een exacte differentiaal is van $\mathrm {d} x_{1}$ en $\mathrm {d} x_{2}$, zijn de twee volgorden van differentiatie naar $x_{1}$ en $x_{2}$ afgeleiden gelijkwaardig, dus dan is de hessiaan een symmetrische matrix. Uit een stelling van de lineaire algebra volgt in dat geval dat de hessiaan uitsluitend reële eigenwaarden heeft. Deze eigenwaarden kunnen onder meer worden gebruikt om te bepalen of een stationair punt van een functie een maximum, een minimum of een zadelpunt is. Merk op dat de hessiaan gerelateerd is aan de jacobiaan van de gradiënt $\nabla f(x)$ volgens

$H(f(x))=J(\nabla f(x))^{\text{T}}$

De benaming 'hessiaan' verwijst naar de Duitse wiskundige Otto Hesse (1811 - 1874) en is naar verluidt geïntroduceerd door de Engelse wiskundige James Joseph Sylvester (1814 - 1897).

Zie ook

• Jacobi-matrix