Hypergeometrische functie

In de wiskunde vormen de hypergeometrische functies een familie van speciale functies die de oplossingen zijn van een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking en als generalisatie van de meetkundige reeks beschouwd kunnen worden.

Onder de hypergeometrische functies zijn als speciale gevallen veel belangrijke functies, zoals de exponentiële functie en de goniometrische functies.

Definitie

De hypergeometrische functies vormen een familie, geparametriseerd door de getallen $p,q\in \mathbb {N} _{0}$ en de reële getallen $a_{1},\ldots ,a_{p}$ en $b_{1},\ldots ,b_{q}$, van functies die voor $z\in \mathbb {C} ,|z|<1$ gedefinieerd zijn door

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}}$.

Daarin is $\Gamma$ de gammafunctie.

Een andere schrijfwijze voor de functies is:

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$

met

$c_{0}=1{\text{ en }}{\frac {c_{k+1}}{c_{k}}}={\frac {(k+a_{1})(k+a_{2})\cdots (k+a_{p})}{(k+b_{1})(k+b_{2})\cdots (k+b_{q})}}\,{\frac {1}{k+1}}.$

Met behulp van het (stijgende) pochhammersymbool $(q)_{n}$, gedefinieerd als:

$(q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}$,

kan men voor de functies ook schrijven:

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{k}(a_{2})_{k}\ldots (a_{p})_{k}}{(b_{1})_{k}(b_{2})_{k}\ldots (b_{q})_{k}}}\,{\frac {z^{k}}{k!}}.$

Voorbeelden

${}_{0}F_{0}\left(;;z\right)=e^{z}$

${}_{1}F_{0}\left(-a;;-z\right)=(1+z)^{a}$

${}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z$

${}_{0}F_{1}\left(;{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)={\frac {\sin z}{z}}$

${}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)={\frac {1}{z}}\ln(1+z)$

${}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{2z}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}$

${}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arcsin z$

${}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};-z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arctan z$

${}_{0}F_{1}\left(;1+a;-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\cdot \left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot J_{a}(z)\quad$, waarin $J_{a}(z)$ de besselfunctie is.

${}_{0}F_{1}\left(;1+a;{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot I_{a}(z)\quad$, met $I_{a}(z)=e^{-i{\frac {\pi }{2}}a}J_{a}(z)$ de gemodificeerde besselfunctie.

${}_{1}F_{1}\left(a;a+1;-z\right)=az^{-a}\gamma (a,z)$, waarin $\gamma (a,z)$ de onvolledige gammafunctie voorstelt.

${}_{1}F_{1}\left(1;a+1;z\right)=az^{-a}e^{z}\gamma (a,z)$

${}_{0}F_{1}(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}})=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$

Geschiedenis

Tot ongeveer 1870 werd de naam hypergeometrische functie alleen gebruikt voor ₂F₁. Carl Friedrich Gauss beschreef voor het eerst een groot aantal eigenschappen van deze functies in zijn doctoraatsthesis in 1812, hoewel Leonhard Euler en Johann Friedrich Pfaff tevoren al merkwaardige eigenschappen hadden ontdekt.

Literatuur

• Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen S. 91 Georg Reimer, Berlin, 1861.
• Felix Klein: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion Springer, Berlin.
• Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin, 1930.

Weblinks

• Hypergeometric Function in NIST Digital Library of Mathematical Functions

Bronnen, noten en/of referenties