Pochhammer-symbool

Het Pochhammer-symbool, genoemd naar de wiskundige Leo Pochhammer, wordt in de combinatoriek en in de theorie van speciale functies gebruikt voor de stijgende faculteit of de dalende faculteit. Er zijn verschillende notaties in gebruik, wat wel tot verwarring kan leiden.

Definities

In de theorie van speciale functies stelt het Pochhammer-symbool $(a)_{n}$ de stijgende faculteit $a(a+1)\dots (a+n-1)$ voor:

$(a)_{n}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)={\frac {(a+n-1)!}{(a-1)!}}$

Hiervoor is ook de notatie $(a,n)$ in gebruik.

In de combinatoriek wordt met $(a)_{n}$ echter de dalende faculteit $a(a-1)\dots (a-n+1)$ bedoeld:

$(a)_{n}=a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)={\frac {a!}{(a-n)!}}$

Om verwarring te vermijden gebruikt men dikwijls het symbool $(a)^{n}$ of $a^{(n)}$ voor de stijgende faculteit.

Pochhammer zelf gebruikte de notatie $[a]_{n}$ voor de dalende faculteit, $[a]_{n}^{+}$ voor de stijgende faculteit en $(a)_{n}$ voor de binomiaalcoëfficiënt ${a \choose n}$.

Eigenschappen

grafiek van de eerste vier Pochhammer-symbolen

• Als $n$ een geheel positief getal is, dan is $a^{(n)}$ een veelterm in $a$. Deze veeltermen hebben een gemeenschappelijk nulpunt bij $a=0$.

• De stijgende en dalende faculteit zijn verwant met de gammafunctie. Dit geeft een uitbreiding van het Pochhammer-symbool naar reële waarden van $n$:

$a^{(n)}={\frac {\Gamma (a+n)}{\Gamma (a)}}$

$(a)_{n}={\frac {\Gamma (a+1)}{\Gamma (a-n+1)}}$

• Enkele bijzondere waarden:

$a^{(0)}=1$

$1^{(n)}=n!$

Hypergeometrische functie

De hypergeometrische functie wordt voor |z| < 1 gedefinieerd door de machtreeks:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$

waarbij c niet gelijk mag zijn aan 0, -1, -2, ... Hierin is $(q)_{n}$ het Pochhammer-symbool voor de stijgende faculteit. Vele wiskundige functies zoals de exponentiële functie of de trigonometrische functies zijn speciale (limiet)gevallen van de hypergeometrische functie.

Externe links

• Wolfram MathWorld: Pochhammer symbol

Bronnen, noten en/of referenties