Integraalkromme

Drie integraalkrommen voor het richtingsveld, die met de differentiaalvergelijking $\mathrm {d} y/\mathrm {d} x=x^{2}-x-1$ overeenkomen.
$\int x^{2}-x-1\ dx\ =\ {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+C$

■ $C=4$

■ $C=0$

■ $C=-4$

In de wiskunde is een integraalkromme een parametrische kromme die een specifieke oplossing van een gewone differentiaalvergelijking of een stelsel van vergelijkingen weergeeft. Als de differentiaalvergelijking wordt weergegeven door een vectorveld of richtingsveld, raken de bijbehorende integraalkrommen op elk punt aan het vector- of richtingveld.

Integraalkrommen staan onder verschillende andere namen bekend, welke daarvan gebruikt wordt, is afhankelijk van de aard en de interpretatie van de differentiaalvergelijking of het vectorveld. In de natuurkunde heten de integraalkrommen voor een elektrisch- of magnetisch veld veldlijnen, terwijl integraalkrommen voor het snelheidsveld van een vloeistof bekendstaan als stroomlijnen. In dynamische systemen wordt aan de integraalkrommen voor een differentiaalvergelijking, die het systeem regelt, gerefereerd als trajectoriën of banen.

De naam 'integraalkromme' is afgeleid van een verouderde betekenis voor het woord integraal. Historisch gezien stond de operatie voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen als het "integreren" van de vergelijking, en stonden de oplossingen bekend als “integralen”.

Definitie

Neem aan dat $\mathbf {F}$ een vectorveld is, dat wil zeggen een vectorwaardige functie met cartesische coördinaten $\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{n})$, en $\mathbf {x} (t)$ een parametrische kromme met cartesische coördinaten $\mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots ,x_{n}(t))$. Dan is $\mathbf {x} (t)$ een integraalkromme van $\mathbf {F}$ als $\mathbf {x} (t)$ een oplossing is voor het volgende autonoom systeem van gewone differentiaalvergelijkingen:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Een dergelijk systeem kan worden weergegeven door een enkele vectorvergelijking

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t))$

Deze vergelijking maakt exact dat de raakvector aan de kromme op elk punt $\mathbf {x} (t)$ langs deze kromme precies gelijk is aan de vector $\mathbf {F} (\mathbf {x} (t))$, en dat daarom de kromme $\mathbf {x} (t)$ op elk punt aan het vectorveld $\mathbf {F}$ raakt.

Als een gegeven vectorveld Lipschitz-continu is, dan impliceert de stelling van Picard-Lindelöf dat er een unieke "stroom voor kleine tijd" bestaat.

Referenties

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont..