Interpolatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search
Zie artikel Voor het taalkundige begrip, zie interpolatie (literatuur)

Wanneer iemand een interpolatie uitvoert, doet hij een uitspraak over een onbekende situatie op basis van een serie bekende situaties (zoals waarnemingen of metingen) door aan te nemen dat er een verband tussen al die situaties bestaat. Voorwaarde om over interpolatie te spreken in plaats van over extrapolatie is dat de onbekende situatie zich binnen het domein van die bekende situaties bevindt. Met andere woorden, interpolatie is het uitbreiden van een reeks getallen met punten die binnen die reeks liggen en extrapolatie is het uitbreiden van een reeks getallen met punten die buiten die reeks liggen.

Bijvoorbeeld: als u om 14:00 uur een fietstocht begint en na 2 uur volgens uw fietscomputer 40 km heeft afgelegd, kunt u afleiden dat u om 15:00 uur (toen u was vergeten op uw fietscomputer te kijken) zo'n 20 km had afgelegd. Daarbij heeft u dus aangenomen dat u met een constante snelheid heeft gefietst en zo bent u tot de eenvoudige relatie tussen verstreken tijd en afgelegde afstand gekomen. De schatting voor 15:00 uur is een interpolatie op basis van de bekende start- en finishtijd.

Definitie[bewerken]

Meer wiskundig uitgedrukt is een interpolatie in een tweedimensionaal probleem (in een -assenstelsel) de techniek om een functie te vinden die door een aantal bekende coördinatenparen gaat, teneinde ook voor een willekeurig ander punt de bijbehorende -waarde te kunnen vinden. Bovengenoemde voorwaarde betreffende het "domein van de bekende situaties", luidt in deze context: mag niet kleiner zijn dan de kleinste uit de verzameling bekende punten, noch groter dan de grootste

De eerste en meest wezenlijke stap is het vinden van een functievoorschrift dat een verband tussen - en -waarden legt:

, waarbij voor alle

De triviale tweede stap is het bepalen van de onbekende -waarde, wat heel eenvoudig kan met:

Opmerking: Hier wordt gesproken van een functie die exact door alle bekende punten gaat; een "goede benadering" (of best fit) van die punten is dus niet voldoende.

Lineaire interpolatie[bewerken]

voorbeeld van lineaire interpolatie

De eerder beschreven fietstocht is een voorbeeld van lineaire interpolatie. Daarvoor zijn precies twee bekende punten nodig en is voor elke -waarde tussen beide uitersten een -waarde te berekenen met

of met dit gelijkwaardige alternatief

Interpolatiepolynomen[bewerken]

Lineaire interpolatie is het eenvoudigste geval van interpoleren met behulp van een polynoom; de polynoom is daarin van de eerste graad. In het algemeen kan men stellen dat men voor bekende punten een unieke polynoom van de graad kan vinden die door al deze punten gaat. Als de bekende punten zijn, met dan wordt het functievoorschrift van de polynoom:

Aangezien door alle bekende punten gaat, is het volgende stelsel van vergelijkingen geldig:

Om het functievoorschrift eenduidig vast te leggen, dienen de waarden van de coëfficiënten berekend te worden. Dit zijn onbekenden die uit een stelsel van vergelijkingen moeten worden gehaald. Dit probleem is dus in principe oplosbaar.

Voor het lineaire geval is deze werkwijze goed te demonstreren: stel de bekende punten zijn en . Het functievoorschrift is van de vorm

en het stelsel vergelijkingen voor de bekende punten:

De oplossing is:

Het functievoorschrift luidt dus:

wat zoals verwacht precies overeenkomt met de functie uit de vorige paragraaf.

Lagrange-interpolatie[bewerken]

Afleiding van de lagrange-polynoom[bewerken]

Hoe meer punten gebruikt worden voor het construeren van een integratiepolynoom, des te ingewikkelder wordt het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden om de coëfficiënten van de polynoom te bepalen. De methode van Lagrange biedt in dergelijke gevallen uitkomst.

Ter herinnering: de functie moet in de bekende punten voldoen aan

Het functievoorschrift van zou nu ook als volgt geschreven kunnen worden:

Hierin zijn nieuwe functies geïntroduceerd. Dit lijkt de situatie gecompliceerder te maken, maar deze functies zijn gemakkelijk af te leiden. Wordt de nieuwe formulering voor namelijk gebruikt in een willekeurige voorwaarde dan ontstaat:

Het moge duidelijk zijn dat en dat alle andere om de linker- en rechterkant van het =-teken identiek te houden. Oftewel, voor een zekere geldt

Omdat er van zulke voorwaarden zijn, kun je ook zeggen:

Met andere woorden: zijn de nulpunten van Omdat een -de-graads polynoom is, is dat ook. En aangezien er eveneens bekende nulpunten zijn, is snel gevonden:

waarin een nog onbekende factor is. Het is echter al duidelijk te zien dat als is, ongeacht de waarde van ' Maar wat is de waarde van dan? Die volgt uit de eerste voorwaarden die aan deze functie werd gesteld, namelijk dat

waaruit volgt dat

Dit geeft de lagrange-polynoom, de functie

De interpolatieformule van Lagrange[bewerken]

De belangrijkste vergelijkingen uit voorgaande afleiding zijn:

en

De samenvoeging hiervan is de interpolatieformule van Lagrange:

Een alternatieve en meer bekende schrijfwijze haalt de hulp van een extra functie h(x) erbij:

Uitwerking voor twee en drie punten[bewerken]

Als controle volgt hier de uitwerking voor een geval met twee bekende punten en

met een handige herschikking van termen krijgt dit een bekender gezicht:

De juistheid van de alternatieve formulering van Lagranges formule is voor een interpolatie tussen twee punten ook snel aangetoond:

Voor drie punten en nu: