Krommingstensor van Riemann

De krommingstensor van Riemann, kortweg krommingstensor of riemann-tensor, is een belangrijk object in de differentiaalmeetkunde, de tak van de wiskunde, die gekromde oppervlakken en ruimten zoals pseudo-riemann-variëteiten bestudeert.

De krommingstensor geeft de mate aan, waarin een oppervlak of hogerdimensionale ruimte meetkundig verschilt van een pseudo-euclidische ruimte zoals een euclidische ruimte of de minkowski-ruimte ("vlakke ruimten").

Typische stellingen uit de euclidische meetkunde die niet langer opgaan in gekromde ruimten, zijn:

• De som van de hoeken van een driehoek bedraagt 180 graden ($\pi$ radialen);
• De oppervlakte van een sfeer (boloppervlak) is 4 maal pi maal het kwadraat van de straal.

De krommingstensor is niet één getal, ook geen getallenrij of getallenvierkant (matrix), maar een "vierdimensionaal" getallenschema: een vierde-orde-tensor.

De krommingstensor is genoemd naar Bernhard Riemann, samen met Carl Friedrich Gauss, de grondlegger van de intrinsieke differentiaalmeetkunde.

Definitie

Zij $(M,g)$ een $n$-dimensionale pseudo-riemann-variëteit. Noteer $[ij,k]$ voor de christoffelsymbolen van de eerste soort, en $\Gamma _{jk}^{i}$ voor de christoffelsymbolen van de tweede soort. De krommingstensor is de tensor van orde 4, waarvan de (1,3)-componenten (eenmaal contravariant en driemaal covariant) gegeven worden door de formule (in einsteinnotatie):

$R_{jkl}^{i}={\partial \Gamma _{jl}^{i} \over \partial x^{k}}-{\partial \Gamma _{jk}^{i} \over \partial x^{l}}+\Gamma _{jl}^{\mu }\Gamma _{\mu k}^{i}-\Gamma _{jk}^{\mu }\Gamma _{\mu l}^{i}$

Men kan bewijzen, dat deze functies inderdaad de componenten van een tensor vormen door gebruik te maken van de coördinatentransformatie van christoffelsymbolen. De christoffelsymbolen zelf zijn niet tensorieel.

Covariante notatie

Soms wordt de riemann-krommingstensor ook viermaal covariant genoteerd, dus als een (4,0)-tensor, met de eenvoudige overgangsformule

$R_{ijkl}=g_{i\gamma }R_{jkl}^{\gamma }$

Men kan deze (4,0)-tensor ook rechtstreeks uitdrukken in de christoffelsymbolen

$R_{ijkl}={1 \over 2}\left({\partial ^{2}g_{il} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}+{\partial ^{2}g_{jk} \over \partial x^{i}\partial x^{l}}-{\partial ^{2}g_{ik} \over \partial x^{j}\partial x^{l}}-{\partial ^{2}g_{jl} \over \partial x^{i}\partial x^{k}}\right)+g^{\alpha \beta }\left([jk,\alpha ].[il,\beta ]-[ik,\alpha ]-[jl,\beta ]\right)$

(de tweede term is een som over $\alpha$ en $\beta$).

Hier duidt $g_{ij}$ een component van de metrische tensor aan, en $g^{kl}$ een element van zijn inverse matrix.

Symmetrieën

A priori kan een vierde-orde-tensor tot $n^{4}$ onafhankelijke componentfuncties hebben. Bij de riemann-tensor wordt dit aantal sterk beperkt door symmetrieën ten opzichte van bepaalde permutaties van de indices:

• Antisymmetrisch in de eerste twee indices: $R_{ijkl}=-R_{jikl}$
• Antisymmetrisch in de laatste twee indices: $R_{ijkl}=-R_{ijlk}$
• Verwisselbaarheid van de eerste twee met de laatste twee indices: $R_{ijkl}=R_{klij}$
• Cyclische permutatie van de laatste drie indices $R_{ijkl}+R_{iljk}+R_{iklj}=0.$

De tweede symmetrie volgt rechtstreeks uit de eerste en de derde; men kan ook aantonen, dat de derde symmetrie rechtstreeks volgt uit de eerste, de tweede en de vierde.

Deze symmetrieën herleiden het aantal onafhankelijke componenten van de riemann-tensor tot

${n^{2}(n^{2}-1) \over 12}$

Uit de derde symmetrie volgt, dat de riemann-tensor, opgevat als een multilineaire functie $R(X,Y,Z,W)$ van vier raakvectoren, volledig vastligt door zijn gedrag in de tweedimensionale deelruimten van de raakruimte. Als $R(X,Y,Z,W)=0$ voor alle $X,Y\in T_{p}M,$ dan is $R(X,Y,Z,W)=0$ voor alle $X,Y,Z,W\in T_{p}M.$

Kenmerk van lokaal vlakke variëteiten

De krommingstensor van een $n$-dimensionale pseudo-riemann-variëteit is overal 0 als en slechts als de variëteit lokaal isometrisch is met de euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$. Riemann ontdekte de tensor trouwens door op zoek te gaan naar een nodige en voldoende voorwaarde opdat een gegeven metriek $g_{ij}dy^{i}dy^{j}$ door een geschikte coördinatentransformatie zou kunnen omgevormd worden tot de constante euclidische metriek $(dx^{i})^{2}.$

Merk op, dat de isometrie slechts lokaal is, dus op voldoende kleine omgevingen van ieder gegeven punt $p$. Zo kan men bijvoorbeeld de torus $\mathbb {T} ^{2}$ uitrusten met een metrische tensor, die een vlakke ruimte oplevert. Er bestaat echter geen globale isometrie $\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$.

Zie ook

• Hendrik Lorentz
• Ricci-tensor
• Tensor
• Tensoren in de algemene relativiteitstheorie

Bronnen, noten en/of referenties