Lévyproces

Een lévyproces, genaamd naar de Franse wiskundige Paul Lévy, is een continue-tijdstochastisch proces. De bekendste voorbeelden van lévyprocessen zijn de wiener- en de poissonprocessen.

Eigenschappen

Onafhankelijke aangroeiingen

Een continue tijd stochastisch proces wijst een toevalsveranderlijke $X_{t}$ toe aan elk punt $t\geq 0$ in de tijd. Het is dus een toevalsfunctie van $t$. De aangroeiingen van zo'n proces zijn de verschillen $X_{s}-X_{t}$ tussen de waarden van het proces op de verschillende tijdstippen $t<s$. De aangroeiingen zijn onafhankelijk als $X_{s}-X_{t}$ en $X_{u}-X_{v}$ onafhankelijke toevalsvariabelen zijn, onder de voorwaarde dat de twee tijdsintervallen elkaar niet overlappen.

Stationaire aangroeiingen

De aangroeiingen heten Stationair als de kansverdeling van de aangroeiing $X_{s}-X_{t}$ alleen afhankelijk is van de lengte $s-t$ van het tijdsinterval. Aangroeiingen over even lange tijdsintervallen zijn dus gelijkverdeeld.

In het geval van een wienerproces is $X_{s}-X_{t}$ normaal verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie $\sigma ^{2}$.

In het geval van een poissonproces is de kansverdeling van $X_{s}-X_{t}$ een poissonverdeling met verwachtingswaarde $\lambda \,(s-t)$.

Deelbaarheid

De kansverdelingen van de incrementen van een lévyproces zijn oneindig deelbaar. Er bestaat een lévyproces voor elke oneindig deelbare verdeling.

Momenten

Het $n$-de moment $\mu _{n}(t)=\mathrm {E} (X_{t}^{n})$ van elk lévyproces met eindige momenten is een veelterm in $t$, bovendien voldoet deze functie aan de binomiale betrekking:

$\mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s)$