Lévyproces

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een lévyproces, genaamd naar de Franse wiskundige Paul Lévy, is een continue tijd stochastisch proces. De bekendste voorbeelden van lévyprocessen zijn de wiener- en de poissonprocessen.

Eigenschappen[bewerken]

Onafhankelijke incrementen[bewerken]

Een continue tijd stochastisch proces wijst een toevalsveranderlijke Xt toe aan elk punt t ≥ 0 in de tijd. Het is dus een toevalsfunctie van t. De incrementen van zo een proces zijn het verschil XsXt tussen de waarden van het proces op de verschillende tijdstippen t < s. De incrementen zijn onafhankelijk wanneer XsXt en XuXv onafhankelijke toevalswaarden zijn, onder de voorwaarde dat twee tijdsintervallen elkaar niet overlappen.

Stationaire incrementen[bewerken]

Stationair betekent dat de kansverdeling van een increment XsXt enkel afhankelijk is van de lengte st van het tijdsinterval. Dus, incrementen met even lange tijdsintervallen zijn identiek verdeeld.

In het geval van een wienerproces, is de kansdistributie van Xs − Xt normaal verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie s − t.

In het geval van een poissonproces, is de kansdistributie van Xs − Xt een poissonverdeling met verwachtingswaarde λ(s − t).

Deelbaarheid[bewerken]

De kansverdelingen van de incrementen van een lévyproces zijn oneindig deelbaar. Er bestaat een lévyproces voor elke oneindig deelbare verdeling.

Momenten[bewerken]

Het nde moment \mu_n(t) = E(X_t^n) van elk lévyproces met eindige momenten is een veelterm in functie van t, bovendien voldoen deze functie aan een binomiale identiteit.