Lévyproces

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een lévyproces, genaamd naar de Franse wiskundige Paul Lévy, is een continue-tijdstochastisch proces. De bekendste voorbeelden van lévyprocessen zijn de wiener- en de poissonprocessen.

Eigenschappen[bewerken]

Onafhankelijke aangroeiingen[bewerken]

Een continue tijd stochastisch proces wijst een toevalsveranderlijke toe aan elk punt in de tijd. Het is dus een toevalsfunctie van . De aangroeiingen van zo'n proces zijn de verschillen tussen de waarden van het proces op de verschillende tijdstippen . De aangroeiingen zijn onafhankelijk als en onafhankelijke toevalsvariabelen zijn, onder de voorwaarde dat de twee tijdsintervallen elkaar niet overlappen.

Stationaire aangroeiingen[bewerken]

De aangroeiingen heten Stationair als de kansverdeling van de aangroeiing alleen afhankelijk is van de lengte van het tijdsinterval. Aangroeiingen over even lange tijdsintervallen zijn dus gelijkverdeeld.

In het geval van een wienerproces is normaal verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie .

In het geval van een poissonproces is de kansverdeling van een poissonverdeling met verwachtingswaarde .

Deelbaarheid[bewerken]

De kansverdelingen van de incrementen van een lévyproces zijn oneindig deelbaar. Er bestaat een lévyproces voor elke oneindig deelbare verdeling.

Momenten[bewerken]

Het -de moment van elk lévyproces met eindige momenten is een veelterm in , bovendien voldoet deze functie aan de binomiale betrekking: