Liénard-vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Liénard-vergelijking[1] is, in de wiskunde — en meer specifiek, in de studie van dynamische systemen en differentiaalvergelijkingen — een bepaald type differentiaalvergelijking, vernoemd naar de Franse natuurkundige Alfred-Marie Liénard (1869–1958).

Gedurende de periode waarin de radiobuis en vacuümbuis werden ontwikkeld, werden Liénard-vergelijkingen intensief bestudeerd, als modellen voor elektronische oscillatoren. Onder bepaalde voorwaarden geeft de stelling van Liénard de garantie dat er voor zo'n systeem een limietcyclus bestaat.

Definitie[bewerken]

Indien f en g twee continu-differentieerbare functies zijn in — waarbij g een oneven functie is, en f een even functie — dan wordt een tweede-orde gewone differentiaalvergelijking van de vorm

een Liénard-vergelijking genoemd. Deze vergelijking kan worden omgezet in een gelijkwaardig stelsel van twee gewone differentiaalvergelijkingen. Definieer

Dan wordt

een Liénard-systeem genoemd.

Voorbeeld[bewerken]

De Van der Pol-oscillator:

is een Liénard-vergelijking, met

De stelling van Liénard[bewerken]

Een Liénard-systeem heeft een unieke en stabiele limietcyclus, die de oorsprong omcirkelt, indien het systeem aan de volgende additionele voorwaarden voldoet:

  • g(x) > 0 voor alle x > 0;
  •   en
  • F(x) heeft exact één positieve wortel met de waarde p, waarbij F(x) < 0 voor 0 < x < p; terwijl F(x) monotoon en positief, F(x) > 0, is voor x > p.

Toepassingen[bewerken]

In 2008[2] is aangetoond dat het Liénard-systeem de werking beschrijft van een opto-elektronisch circuit dat gebruik maakt van een resonante tunneldiode om een laserdiode aan te sturen. Dit resulteert in een opto-elektronische voltage-gecontroleerde oscillator.