Lineair omhulsel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is het lineair omhulsel of lineair opspansel van een (eindige) verzameling vectoren W de verzameling van alle lineaire combinaties van de vectoren uit W. Hierbij is W een verzameling vectoren binnen een lineaire vectorruimte V. Het lineair omhulsel van een gegeven verzameling is bijgevolg altijd een vectorruimte. Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren v1,...,vn als span(v1,...,vn), afgeleid van de Engelse benaming linear span. Andere notaties zijn <v1,...,vn> en [v1,...,vn].

Definitie[bewerken]

Zij V een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) K, dan is het lineair omhulsel van de vectoren v1,...,vn in V, de deelruimte

\mathrm{span}(v_1 ,\ldots, v_n) = \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n : a_1 ,\ldots, a_n \in K \}.

De vectoren v1,...,vn worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Bijzondere gevallen[bewerken]

In het bijzonder geldt:

  • \mathrm{span}() = \{0\}
  • een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf