Lineair omhulsel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de lineaire algebra is het lineair omhulsel of lineair opspansel van een deelverzameling van een vectorruimte , de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van die omvatten. Het lineair omhulsel is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit .

Men noteert het lineair omhulsel van als afgeleid van de Engelse benaming linear span of ook als . De vectoren in worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Het lineair omhulsel van een deelverzameling van een vectorruimte is de kleinste deelruimte van die omvat, dus voor alle lineaire deelruimten geldt:

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) , dan is het lineair omhulsel van de vectoren in , de deelruimte

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren als Andere notaties zijn en

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) , dan is het lineair omhulsel van , de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

Bijzondere gevallen[bewerken | brontekst bewerken]

In het bijzonder geldt:

  • een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Als een stelsel vectoren onafhankelijk is, dan is een basis van de voortgebrachte deelruimte

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte wordt voortgebracht door het stelsel dan bevat een basis van

De ruimte blijft het lineair omhulsel van

  • als men aan een vector uit toevoegt.
  • als men een vector uit , welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit , verplaatst naar \ .
  • als men in een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
  • als men bij een vector uit , een andere vector uit optelt.