Lineair omhulsel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de lineaire algebra is, als een verzameling vectoren binnen een vectorruimte is, het lineair omhulsel of lineair opspansel van de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van die bevatten. Het is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit .

Men noteert het lineair omhulsel van de als afgeleid van de Engelse benaming linear span. De vectoren in worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Definitie[bewerken]

Het lineair omhulsel van een deelverzameling van een vectorruimte is de kleinste deelruimte van die omvat, dus

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren[bewerken]

Zij een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) , dan is het lineair omhulsel van de vectoren in , de deelruimte

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren als Andere notaties zijn en

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren[bewerken]

Zij een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) , dan is het lineair omhulsel van , de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

Bijzondere gevallen[bewerken]

In het bijzonder geldt:

  • een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappen[bewerken]

Als een stelsel vectoren onafhankelijk is, dan is een basis van de voortgebrachte deelruimte

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte wordt voortgebracht door het stelsel dan bevat een basis van

De ruimte blijft het lineair omhulsel van

  • als men aan een vector uit toevoegt.
  • als men een vector uit , welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit , verplaatst naar \ .
  • als men in een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
  • als men bij een vector uit , een andere vector uit optelt.