Logistische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Logistische functie, specifiek de Sigmoidfunctie.

De logistische functie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst, beschrijft het verloop van de omvang N(t) van een populatie als functie van de tijd t, als de verandering van de populatie-omvang evenredig is:

  • met de omvang van de huidige populatie
  • en met de nog voorhanden "groeiruimte" M - N(t) , waarin M de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.

Deze eisen leiden tot de volgende differentiaalvergelijking:

N'(t) = k  N(t)(M - N(t))\,

De oplossing van deze vergelijking is:

N(t) = N(0) \frac{M}{N(0)+e^{-Mkt}\left(M-N(0)\right)}

die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.

De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren: In het begin (t klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind (t groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum M, omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is. Als de populatiegrootte de helft van het maximum bereikt heeft, is de stijging het grootst: daar heeft de exponentiële groei de overhand.

Oplossing[bewerken]

Door scheiding van variabelen:

\frac{dN}{dt}=k N(M-N),

dus

\frac{dN}{N(M-N)}=k dt\,,

waaruit door integratie en breuksplitsing volgt:

\int k dt + C=\int\frac{1}{N(M - N)}dN =\frac 1M \int\left(\frac 1N + \frac{1}{M-N}\right)dN,

zodat:

kMt + C'=\log|N|-\log|M - N| = \log\left|\frac{N}{M-N}\right|

Daaruit volgt:

\frac{M-N}N=\frac MN-1=c e^{-Mkt}

Die integratieconstante c kan uitgedrukt worden in de populatie-omvang op het tijdstip 0:

\frac M{N_0}-1=c

Toepassing[bewerken]

Logistische groei kan als model gebruikt worden voor bacteriekolonies of muizenpopulaties, waarbij de populatie-omvang begrensd wordt door de beperkte aanwezigheid van voedsel.

Zie ook[bewerken]