Nabla in verschillende assenstelsels

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de onderstaande tabel staat een overzicht van de vorm die de operator nabla aanneemt in de drie assenstelsels:

Tabel met de operator in cilinder- en bolcoördinaten
Operatie Cartesiaanse coördinaten (x,y,z) Cilindercoördinaten (ρ,φ,z) Bolcoördinaten (r,θ,φ)
Relatie zie: Cilindercoördinaten Bolcoördinaten
eenheids-
vectoren
scalair veld
vectorveld




Niet evidente rekenregels:
  1. (Laplaciaan)

Afleiding[bewerken]

Cilindercoördinaten[bewerken]

Gradiënt van een scalaire functie[bewerken]

De component van grad f in de richting van is:

De component van grad f in de richting van is:

Divergentie van een vectorveld[bewerken]

We drukken de divergentie uit in de componenten van de polaire voorstelling:

dus


Samen leidt dat tot:

Rotatie van een vectorveld[bewerken]






Transformeren naar ρ en φ:



Laplaciaan van een scalaire functie[bewerken]

Uit het bovenstaande volgt voor de Laplaciaan van een scalaire functie f:

Laplaciaan van een vectorveld[bewerken]

Uit het bovenstaande volgt voor de Laplaciaan van een vectorveld A:

En analoog:


Bolcoördinaten[bewerken]

Gradiënt van een scalaire functie[bewerken]

De component van grad f in de richting van r is:

De component van grad f in de richting van is:

De component van grad f in de richting van is:

Divergentie van een vectorveld[bewerken]

We drukken de divergentie uit in de voorstelling in bolcoördinaten:

Nu is:

en analoog voor y en z, zodat:



We verzamelen apart:

de termen waarin voorkomt:

de termen waarin voorkomt:


en de termen waarin voorkomt:

Samen geeft dat:


Rotatie van een vectorveld[bewerken]

Voor de divergentie bepaalden we . Nu moeten de andere afgeleiden bepaald worden.


Voor de x-component:



Daaruit volgt:


Voor de y-component:



Daaruit volgt:


Voor de z-component:



Daaruit volgt:


Transformeren naar r, φ en θ:




Laplaciaan van een scalaire functie[bewerken]

Uit het bovenstaande volgt voor de Laplaciaan van een scalaire functie f:

Laplaciaan van een vectorveld[bewerken]

Uit het bovenstaande volgt in bolcoördinaten voor de Laplaciaan van een vectorveld A:






En analoog voor de φ-component:








En analoog voor de θ-component: