Nilpotente matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de lineaire algebra heet een vierkante matrix nilpotent als de matrix enige malen met zichzelf vermenigvuldigd de nulmatrix oplevert.

Definitie[bewerken]

De -matrix heet nilpotent met index als

en .

Eigenschappen[bewerken]

  • De index van een nilpotente -matrix is kleiner of gelijk aan
  • De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn alle gelijk aan 0.
  • Omgekeerd geldt ook dat een matrix waarvan alle eigenwaarden gelijk zijn aan 0, nilpotent is.
  • De determinant en het spoor van een nilpotente matrix zijn 0.
  • Een nilpotente matrix is niet inverteerbaar;
  • Een bovendriehoeksmatrix of benedendriehoeksmatrix, waarvan de elementen op de hoofddiagonaal 0 zijn, is nilpotent.

Voorbeelden[bewerken]

Voor de matrix geldt: , dus is nilpotent met index 2

Voor de matrix geldt: en , dus is nilpotent met index 3.