Oplosbare groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, heet een groep oplosbaar, als zij geconstrueerd kan worden met behulp van een eindige rij van uitbreidingen van abelse groepen. De precieze definitie is:

Definitie

Een groep $G$ wordt oplosbaar genoemd als deze groep een normale rij heeft, waarvan de factorgroepen alle commutatief zijn, dat wil zeggen dat er ondergroepen

$\{1\}=G_{0}\subset G_{1}\subset \ldots \subset G_{k}=G$

zijn, zodanig dat $G_{j-1}$ normaal is in $G_{j}$ en de factorgroepen $G_{j}/G_{j-1}$ commutatief zijn.

Of equivalent: als de "afgeleide rijen" van de groep, de afnemende normale rij

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \ldots ,$

waar iedere ondergroep de commutatorondergroep van de vorige is, uiteindelijk de triviale groep {1} van G bereikt. Deze twee definities zijn gelijkwaardig, aangezien voor elke groep H en iedere normaaldeler N van H, het quotiënt H/N dan en slechts dan commutatief is als H⁽¹⁾ deel uitmaakt van N. De kleinste n zodanig dat $G^{(n)}=\{1\}$ wordt de afgeleide lengte van de oplosbare groep G genoemd.

Voorbeelden

Alle abelse groepen zijn oplosbaar - het quotiënt A/ B zal altijd abels zijn als A abel is. Te bepalen dat een groep oplosbaar is, heeft dus alleen nut voor niet-commutatieve groepen.

Meer in het algemeen geldt dat alle nilpotente groepen oplosbaar is. In het bijzonder zijn de eindige p-groepen oplosbaar, aangezien alle eindige p-groepen nilpotent zijn.

Een klein voorbeeld van een oplosbaar, niet-nilpotente groep is de symmetrische groep S₃. Aangezien de kleinste enkelvoudige niet-abelse groep A₅, (de alternerende groep van graad 5 is, volgt hieruit dat elke groep met een orde van minder dan 60 oplosbaar is.