Paraboolconstante

figuur 1. Parabool met brandpunt F, richtlijn r en latus rectum DE.

De paraboolconstante is een wiskundige constante (vergelijkbaar met de getallen $\pi$ en $e$).

Het getal, dat in hetgeen volgt aangeven wordt met $P$, wordt voor een (willekeurige) parabool gedefinieerd als de verhouding tussen de booglengte $s$ van het paraboolsegment dat wordt bepaald door het latus rectum, en de (parabool)parameter $p$; dus:

$P={s \over p}$

Latus rectum en parameter

Het latus rectum (Lat. latus = zijde, rectum < rectus = recht, rechtop) is de koorde van een kegelsnede die in het (c.q. een) brandpunt loodrecht staat op de symmetrie-as door dat brandpunt.

De paraboolparameter, of kortweg parameter, in het algemeen aangegeven met $p$, is gelijk aan de afstand van het brandpunt $F$ van de parabool tot de richtlijn $r$; zie het lijnstuk $FR$ in figuur 1.

De algemene vergelijking van de parabool die de y-as als symmetrie-as heeft, het punt $O=(0,0)$ als top en het punt $F=(0,{\textstyle {1 \over 2}}p)$ als brandpunt, is:

$y={\frac {1}{2p}}{{x}^{2}}$

Zie ook Brandpunt en richtlijn van een parabool.

Berekening van de paraboolconstante

Snijdt het latus rectum de parabool in de punten $D=(t,0)$ en $E=(-t,0)$, dan is dus:

$P={\frac {{\text{booglengte}}(EOD)}{|FR|}}={\tfrac {1}{p}}\int _{-t}^{t}{{\sqrt {1+{{({\tfrac {dy}{dx}})}^{2}}}}dx}={\tfrac {1}{p}}\int _{-t}^{t}{{\sqrt {1+{\tfrac {{x}^{2}}{{p}^{2}}}}}dx}$

Met de substitutie $x=p\cdot t$ is $dx=pdt$. En daarmee is:

$P={\textstyle {1 \over p}}\int _{-\,1}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}}}\,\cdot \,p\,\,dt}=\int _{-\,1}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}}}dt}=2\int _{0}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}}}dt}$

En hieruit blijkt dat de waarde van $P$ onafhankelijk is van de parameter $p$ van de parabool.
Met andere woorden: de waarde van $P$ is voor elke parabool hetzelfde.
Overigens volgt dit ook uit het feit dat alle parabolen gelijkvormig zijn met de zogeheten eenheidsparabool $y={{x}^{2}}$ waarbij $2p=1$ .

Verdere berekening van de integraal geeft dan met gebruik van de lijst van primitieven van irrationale functies:

$P=\left[t{\sqrt {1+{{t}^{2}}}}+\ln(t+{\sqrt {1+{{t}^{2}}}})\right]_{\ 0}^{\ 1}={\sqrt {2}}+\ln(1+{\sqrt {2}})\approx 2,29558714939$

Toepassing

figuur 2. Gedeeltelijke wenteling van $y=f(x)={e^{x}}$ om de x-as.

Wordt het gedeelte van de grafiek van de functie $y=f(x)={e^{x}}$ dat links van de y-as gelegen is, om de x-as gewenteld, dan kan de oppervlakte $M$ van de mantel van het omwentelingslichaam worden uitgedrukt in $P$.

Zie figuur 2. Daarin is (bij benadering) voor het gedeelte van de mantel tussen de punten $A$ en $B$ voor kleine $\Delta x$:

$\Delta M=2\pi \,\cdot \,f(x)\,\cdot \,{\text{booglengte}}(AB)$

Zodat voor $M$ geldt:

$M=2\pi \int _{-\,\infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{(({{e}^{x}})')}^{2}}}}}dx=2\pi \int _{-\,\infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{e}^{2x}}}}dx}$

Met de substitutie ${{e}^{x}}=t$, waarbij ${{e}^{x}}dx=dt$, is dan:

$M=2\pi \int _{0}^{1}{{\sqrt {1+{{t}^{2}}}}dt=2\pi \,\cdot \,{\tfrac {1}{2}}P=\pi P}$

Transcendentie

Stelling. $P$ is een transcendent getal.

Bewijs (uit het ongerijmde). Stel $P=\surd 2+\ln(1+\surd 2)$ is algebraïsch. Dan is ook $P'=P-\surd 2=\ln(1+\surd 2)$ algebraïsch. Maar volgens de stelling van Lindemann-Weierstrass is dan ${{e}^{P'}}=1+\surd 2$ transcendent, maar dat is overduidelijk niet het geval.
Dus is $P$ transcendent. Wat te bewijzen was.

Zie ook

• Kegelsneden
• OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences): A103710
• Lijst van integralen van irrationale functies
• Lijst van integralen van exponentiële functies
• Integratie door substitutie

Bronnen, noten en/of referenties

---

---

• D.J.E. Schrek (1918): Beginselen der Analytische Meetkunde. Groningen: P. Noordhoff n.v., 15e druk (1963), pp. 87-101.
• Jonathan Sondow (2012): (en) The parbelos, a parabolic analog of the arbelos. In: American Mathematical Monthly; vol. 120 (2013); pp. 929-935. Via: Internet Archive.