Penrose-betegeling

Dezelfde betegeling, nu met ingekleurde complete "sterren".

De set van Penrose-tegels waarmee bovenstaande Penrose-betegeling is geconstrueerd. Φ is het getal van de Gulden Snede.

Een andere Penrose-betegeling, met dezelfde set tegels.

Een Penrose-betegeling is een niet-periodieke betegeling, gegenereerd door een aperiodieke verzameling van twee of enkele "proto-tegels" en vernoemd naar Roger Penrose die deze verzamelingen in de jaren zeventig van de 20ste eeuw onderzocht. Aangezien alle betegelingen verkregen met de Penrose tegels niet-periodiek zijn, worden Penrose-betegelingen vaak aperiodieke betegelingen genoemd, omdat de betegelingen geen translatiesymmetrie kennen. Dat wil echter niet zeggen dat er geheel geen symmetrie in de betegelingen voorkomt: van de oneindig vele mogelijke betegelingen zijn er twee die zowel spiegelsymmetrie als vijfvoudige rotatiesymmetrie bezitten.

Eigenschappen

Penrose^[1] ontdekte dat het vlak kan worden betegeld met slechts twee figuren of "tegels", waarbij:

a) het vlak kan worden betegeld (zonder overlapping en zonder gaten) door oneindig veel exemplaren van de twee tegels, op oneindig veel verschillende manieren;

b) geen enkele van deze betegelingen periodiek is (door een verschuiving in zichzelf kan overgaan);

c) elk eindig, begrensd deel van een betegeling een oneindig aantal malen voorkomt in elke andere betegeling.

Achtergrond

In 1981 kwam De Bruijn met een methode om Penrose-betegelingen te construeren^[2] uit vijf families van parallelle lijnen, gebruik makend van een "cut and project" methode, waarin Penrose-betegelingen worden verkregen als tweedimensionale projecties van een vijfdimensionale kubieke structuur. In deze aanpak wordt een Penrose-betegeling beschouwd als een set van punten en vertices, terwijl de tegels als geometrische vormen slechts als bijproduct ontstaan wanneer men de hoekpunten verbindt.

Op 22 februari 2007 verscheen in Science een artikel^[3] waarin de ontdekking van Penrose-betegelingen in middeleeuwse Islamitische architectuur wordt beschreven, vijf eeuwen voor hun ontdekking in het westen.

Zie ook

Literatuur

Computerdenken – Des Kaisers neue Kleider oder Die Debatte um Künstliche Intelligenz, Bewußtsein und die Gesetze der Natur. Heidelberg 1991. ISBN 3-8274-1332-X
R. Penrose:The Emperor’s New Mind. Penguin Books, New York 1991. ISBN 0-14-014534-6
Roger Penrose: Set of tiles for covering a surface. U.S. Patent 4133152, publicatiedatum: 9 januari 1979.
Martin Gardner: Penrose Tiles. Kapitel 7, in: The Colossal Book of Mathematics. Norton, New York NY 2001. ISBN 0-393-02023-1
P. J. Lu, P. J. Steinhardt: Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture. in: Science. Washington 315.2007, 1106-1110. ISSN 0036-8075
Emil Markovicky: 800-Year-Old Pentagonal Tiling From Maragha, Iran, and the New Varieties of Aperiodic Tiling it Inspired. in: Fivefold Symmetry. Hrsg.v.István Hargittai. World Scientific, Singapore/River Edge NJ 1992, S. 67-86. ISBN 981-02-0600-3
Roger Penrose: Pentaplexity - A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane. in: The Mathematical Intelligencer. Springer, New York 2.1979,1, S.32-37 (ISSN 0343-6993
R. Penrose: The role of aesthetics in pure and applied mathematical research. in: Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications (Bull. Inst. Math. Appl.). Southend-on-Sea 10.1974, 266-271. ISSN 0146-3942
Pöppe Christoph: Quasikristalle in neuem Licht. in: Spektrum der Wissenschaft. Heidelberg 1999,7, S. 14-17. ISSN 0170-2971
P. Stephens, A. Goldman: Die Struktur der Quasikristalle. in: Spektrum der Wissenschaft. Heidelberg 1991,6, S. 48-56. ISSN 0170-2971
Martin Gardner: Mathematische Spielereien. in: Spektrum der Wissenschaft. Heidelberg 1979,11, S. 22-33. ISSN 0170-2971
On de Bruijn Grids and Tilings, mathpages.com

Bronnen

↑ Penrose, R. "Pentaplexity A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane". The Mathematical Intelligencer 1979, vol. 2 nr. 1, pp 32-37. DOI:10.1007/BF03024384
↑ De Bruijn, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 43, 39-52, 53-66 (1981). Algebraic theory of Penrose's nonperiodic tilings of the plane, I, II
↑ Lu, P.J. en P.J. Steinhardt (2007) "Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture", Science vol. 315, pp. 1106-1110. Beschikbaar via deze link

Zie de categorie Penrose tilings van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

[1] Penrose, R. "Pentaplexity A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane". The Mathematical Intelligencer 1979, vol. 2 nr. 1, pp 32-37. DOI:10.1007/BF03024384

[2] De Bruijn, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 43, 39-52, 53-66 (1981). Algebraic theory of Penrose's nonperiodic tilings of the plane, I, II

[3] Lu, P.J. en P.J. Steinhardt (2007) "Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture", Science vol. 315, pp. 1106-1110. Beschikbaar via deze link

[1]

[2]

[3]