Penrose-betegeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Voorbeeld van een Penrose-betegeling.
Dezelfde betegeling, nu met ingekleurde complete 'sterren'.
De twee Penrose-tegels, waarmee bovenstaande Penrose-betegeling is geconstrueerd. Φ is het getal van de gulden snede.
Een andere Penrose-betegeling, met dezelfde twee tegels gemaakt.
Twee andere mogelijke Penrose-tegels.

Een Penrose-betegeling is een niet-periodieke betegeling, gegenereerd door een aperiodieke verzameling van twee of meer voorbeeld-tegels. De betegeling is naar Roger Penrose genoemd, die deze verzamelingen in de jaren zeventig van de 20ste eeuw onderzocht. Aangezien Penrose-betegelingen nooit periodiek zijn, worden het vaak aperiodieke betegelingen genoemd: er komt in de betegelingen geen translatiesymmetrie voor. Dat wil echter niet zeggen dat er geheel geen symmetrie in de betegelingen voorkomt: van de oneindig veel mogelijke betegelingen zijn er twee die zowel spiegelsymmetrie als vijfvoudige rotatiesymmetrie bezitten. De ordening van atomen in een quasikristal volgt die van een Penrose-betegeling in drie dimensies.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Penrose[1] ontdekte dat het vlak kan worden betegeld met slechts twee figuren of "tegels", waarbij:

  1. het vlak met de twee tegels zonder overlapping en zonder gaten op oneindig veel verschillende manieren kan worden betegeld,
  2. geen enkele van deze betegelingen periodiek is, dus nooit door translatie in zichzelf kunnen overgaan en
  3. ieder eindig, begrensd deel van een betegeling een oneindig aantal keer in elke andere betegeling voorkomt.

Achtergrond[bewerken | brontekst bewerken]

De Bruijn kwam in 1981 met een methode om Penrose-betegelingen te construeren[2] uit vijf families van parallelle lijnen, gebruik makend van een "cut and project" methode, waarin Penrose-betegelingen worden verkregen als tweedimensionale projecties van een vijfdimensionale kubieke structuur. Een Penrose-betegeling is in deze aanpak een verzameling van punten en de tegels ontstaan door deze punten als de hoekpunten daarvan met elkaar te verbinden.

Er verscheen op 22 februari 2007 een artikel in Science,[3] waarin de ontdekking van Penrose-betegelingen in middeleeuwse Islamitische architectuur wordt beschreven, vijf eeuwen voor hun ontdekking in het westen.

Varianten[bewerken | brontekst bewerken]

  • Een wang-betegeling is op dezelfde manier gedefinieerd, behalve dat de tegels samengestelde tegels zijn, vierkanten opgebouwd uit vier driehoeken.
  • Penrose-betegelingen zijn in tegenstelling tot fractals niet zelfgelijkvormig.
Animatie met driehoeken

Literatuur[bewerken | brontekst bewerken]

Externe link[bewerken | brontekst bewerken]

  • (en) Veritasium, The Infinite Pattern That Never Repeats (30 september 2020). YouTube-filmpje over de Penrose-betegeling met voorgeschiedenis en context. De betegeling zelf is te zien vanaf 5'35".

Voetnoten[bewerken | brontekst bewerken]

Zie de categorie Penrose tilings van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.