Betegeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Betegelde straat

Een betegeling of tessellatie van een vlak staat voor een collectie van vormen die dit vlak in zijn geheel opvullen zonder dat sommige tegels elkaar mogen overlappen. Men spreekt ook van betegelingen van delen van een vlak of van andere oppervlaktes. Ook zijn generalisaties naar hogere dimensies mogelijk. M. C. Escher maakt in zijn kunst veel gebruik van betegelingen. Door de hele kunstgeschiedenis, van de architectuur uit de Oudheid tot in de moderne kunst, zien we betegelingen terugkomen.

In het Latijn was een tessella een klein kubusvormig stukje van klei, steen of glas dat werd gebruikt om mozaïeken te leggen.[1] Het woord "tessella" betekent "klein vlak" (van "tessera", vierkant, wat op zijn beurt van het Griekse woord voor "vier" komt). Het woord heeft goeddeels dezelfde lading als het meer alledaagse woord betegeling, dat verwijst naar toepassingen van tesselaties van geglazuurde wandtegels in bijvoorbeeld badkamers.

Wiskunde[bewerken]

Behangpatroongroepen[bewerken]

Tegels met translatiesymmetrie kunnen worden gecategoriseerd door behangpatroongroepen. Hiervan bestaan er precies 17. Alle zeventien van deze patronen zijn teruggevonden in het Alhambra paleis in Granada in Spanje. Van de drie gewone betegelingen vallen er twee in de categorie p6m en een in de categorie p4m.

Als het figuur bestaat uit punten verbonden door lijnstukken, dan is per oppervlakte-eenheid het aantal lijnstukken gelijk aan het aantal punten plus het aantal veelhoeken waarin het vlak wordt verdeeld (de euler-karakteristiek van de polygonalisatie van een deel van het vlak zonder gaten is 1, bij uitbreiding naar het hele vlak wordt deze per oppervlakte-eenheid nul).

Regelmatige betegeling[bewerken]

Regelmatige betegelingen kunnen gemaakt worden met 3 soorten regelmatige veelhoeken:

met gelijkzijdige driehoeken
met vierkanten
met regelmatige zeshoeken, de honingraatstructuur

Het aantal n-hoeken dat bij elkaar komt in elk hoekpunt is \frac{2n}{n-2}=2+\frac{4}{n-2}. Bij een regelmatige vlakvulling met regelmatige n-hoeken moet n-2 dus deler van 4 zijn, dus 1, 2 of 4, dus de bovenstaande mogelijkheden zijn de enige. De verhouding van aantal hoekpunten, aantal zijden aantal n-hoeken is (n-2) : n : 2. Voor gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken respectievelijk 1:3:2, 1:2:1 en 2:3:1.

Zie ook de bijbehorende translatieroosters.

Halfregelmatige betegeling[bewerken]

Betegelingen kunnen met drie-, vier-, vijf- en zeshoeken worden gemaakt. Met alle drie- en vierhoeken kan het vlak worden gevuld. Er zijn tot nu toe vijftien convexe vijfhoeken gevonden, waarmee het vlak kan worden gevuld. Mogelijk zijn er nog meer vijfhoeken waarmee het vlak kan worden gevuld. Het is bewezen dat er drie soorten zeshoeken zijn, waarmee het vlak kan worden gevuld, maar dat er geen veelhoeken met meer dan zes hoeken zijn, waarmee datzelfde mogelijk is.[2]

Noten[bewerken]

  1. Tessellate, Merriam-Webster Online
  2. A vd Brandhof NRC Handelsblad. "De vijftiende vlakvullende vijfhoek", 14 augustus 2015.

Referenties[bewerken]

Externe links[bewerken]