Van der Kuil speelde in zijn jeugd voor VSV. De rechtsbuiten brak door in het eerste van deze ploeg en maakte op 19-jarige leeftijd reeds zijn debuut in het Nederlands elftal, in een wedstrijd op 6 april 1952 tegen België. Hij was meteen een vaste waarde in Oranje en behoorde ook tot de selectie voor de Olympische Zomerspelen 1952, waar het voetbalteam kansloos met 5-1 tegen Brazilië verloor. In 1956 tekende Van der Kuil een contract voor Ajax, waar hij in drie seizoenen 36 doelpunten maakte. In 1959 werd hij voor 130.000 gulden door PSV overgenomen. Bij de Eindhovense club kreeg hij tevens de mogelijkheid een opleiding tot instrumentmaker te volgen.
Van der Kuil behoorde in deze periode tot de beste Nederlandse spelers. In de Eredivisie was hij ieder jaar goed voor zo'n tien doelpunten. Hij behoorde tot de vaste keus van bondscoach Elek Schwartz en stond in de belangstelling van clubs uit binnen- en buitenland. Desondanks bleef Van der Kuil bij PSV. Op 14 oktober 1962 speelde hij zijn veertigste en laatste interland, tegen België. In totaal scoorde hij negen doelpunten voor Nederland. In 1963 ging hij van PSV naar Blauw-Wit, waar hij één seizoen voor speelde. In 1964 keerde hij terug naar zijn geboorteplaats Velsen, naar Telstar dat een jaar eerder was voortgekomen uit VSV en Stormvogels. In 1966 beëindigde hij zijn carrière.
.jpg)
Nederland
· 
· 
