Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In het hamiltonformalisme wordt de poisson-haak voor twee dynamische grootheden
f
(
p
i
,
q
i
,
t
)
{\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}
en
g
(
p
i
,
q
i
,
t
)
{\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}
als volgt gedefinieerd:
{
f
,
g
}
=
∑
i
=
1
N
(
∂
f
∂
q
i
∂
g
∂
p
i
−
∂
f
∂
p
i
∂
g
∂
q
i
)
.
{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}
waarbij
(
q
i
,
p
i
)
{\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}
de coördinaten in de faseruimte zijn.
Dit begrip werd door de Franse wiskundige Siméon Poisson in 1809 ingevoerd[1] . De poisson-haak in de klassieke mechanica komt overeen met de commutator in de kwantummechanica .
Eigenschappen
De volgende eigenschappen gelden voor gelijk welke drie functies
f
,
g
,
h
{\displaystyle f,\,g,\,h}
die afhangen van de faseruimte en de tijd:
Antisymmetrisch
{
f
,
g
}
=
−
{
g
,
f
}
{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}
Lineair
{
a
f
+
b
g
,
h
}
=
a
{
f
,
h
}
+
b
{
g
,
h
}
,
{
h
,
a
f
+
b
g
}
=
a
{
h
,
f
}
+
b
{
h
,
g
}
,
a
,
b
∈
R
{\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }
Productregel
{
f
g
,
h
}
=
{
f
,
h
}
g
+
f
{
g
,
h
}
{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}
Voldoen aan de Jacobi-identiteit
{
f
,
{
g
,
h
}
}
+
{
g
,
{
h
,
f
}
}
+
{
h
,
{
f
,
g
}
}
=
0
{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}
Op grond van deze eigenschappen is de Poisson-haak een voorbeeld van een Lie-haak .
Hamiltonvergelijkingen
Door gebruik te maken van de Poisson-haak kan men de vergelijkingen van Hamilton op een heel elegante manier als volgt schrijven:
{
q
˙
=
{
q
,
H
}
p
˙
=
{
p
,
H
}
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}=\{q,H\}\\{\dot {p}}=\{p,H\}\end{cases}}}
Bronnen, noten en/of referenties
↑ Poisson. J. de l'École Polytech. 8 , pp. 266-344 (1809)