Hamiltonformalisme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het Hamilton-formalisme is een herformulering van de klassieke mechanica, die in 1833 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton is opgesteld.

Het Hamilton-formalisme is ontstaan ​​uit de Lagrangiaanse mechanica, een eerdere herformulering van de klassieke mechanica, die in 1788 werd geïntroduceerd door Joseph-Louis Lagrange. Doordat het gebruikmaakt van symplectische ruimte kan het Hamilton-formalisme worden geformuleerd zonder een beroep te hoeven doen op de Lagrangiaanse mechanica. De Hamiltoniaanse methode verschilt hierin van de Lagrangiaan methode dat in plaats van tweede-orde differentiaal restricties uit te drukken op een n-dimensionale coördinatenruimte (waar n het aantal vrijheidsgraden van het systeem is), het Hamilton-formalisme eerste-orde restricties op een 2n-dimensionale faseruimte uitdrukt[1]

Het Hamilton-formalisme vertoont dus veel overeenkomsten met dat van Lagrange. Het kenmerkende verschil tussen het Hamilton-formalisme en het Lagrange-formalisme is dat Hamiltonformalisme in vergelijking met het Lagrange-formalisme voor hetzelfde mechanische systeem uit een stelsel van twee keer zoveel differentiaalvergelijkingen van de eerste orde bestaat. Het Lagrange-mechanisme wordt gekenmerkt door haar tweede orde Euler-Lagrange-vergelijkingen.

Naast het theoretische belang voor de klassieke mechanica is het Hamilton-formalisme van groot belang geweest bij de ontwikkeling van de kwantummechanica. Verder bestaat er ook zoiets als Hamiltoniaanse optica, waarin gebruikgemaakt wordt van een analogie van driedimensionale banen van puntmassa's en de loop van lichtstralen in de geometrische optica.

De ten behoeve van dit formalisme gedefinieerde grootheid Hamiltoniaan, H is in veel gevallen gelijk aan de totale energie, T + V, terwijl de Lagrangiaan gelijk is aan T - V (waarbij T de kinetische energie en V de potentiële energie is). Het Hamilton-formalisme heeft vooral zijn waarde bewezen in mechanisme systemen waarin H onafhankelijk van de tijd is.

Afleiding uit het Lagrangeformalisme[bewerken]

Stel dat we een mechanisch systeem hebben dat beschreven wordt door het Lagrangeformalisme. De toestand van een tijdafhankelijk systeem met n vrijheidsgraden wordt vastgelegd met een stel gegeneraliseerde coördinaten q_1,q_2,\ldots,q_n, die per definitie onderling onafhankelijk zijn, en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden \dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n, die ook onderling en van de plaatscoördinaten onafhankelijke grootheden zijn. (Tijdsafgeleiden van deze en andere natuurkundige grootheden worden volgens een conventionele notatie met een punt boven het symbool ervan aangegeven in plaats van de differentiaaloperator d/dt, als dat de overzichtelijkheid ten goede komt.)

Het gedrag van het systeem wordt beschreven door de Euler-Lagrange-vergelijkingen:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\quad(i=1,2,\ldots,n). (i)

Hierin is L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t) de Lagrangiaan van het systeem.
Nu wordt de Hamiltoniaan of Hamiltonfunctie ingevoerd, die de Legendre-transformatie naar \dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n is van de Lagrangiaan. Dit is de eerste stap van een standaardmethode om een tweede orde DV om te zetten in een stelsel van twee eerste orde DV's, wat ook de bedoeling is van het Hamilton-formalisme:

H = \sum_{i=1}^n \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L

Nu wordt voor elke gegeneraliseerde coördinaat q_i de bijbehorende gegeneraliseerde impuls geïntroduceerd:

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}. (ii)

De Euler-Lagrange-vergelijkingen kunnen zodoende herschreven worden als:

\dot p_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}\quad(i=1,2,\ldots,n). (iii)

Gebruik makend van de definitie van p_i (ii) wordt een eerste stap gezet naar de definitie van de Hamiltoniaan die alleen afhankelijk is van q_i en p_i:

H(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t) = \sum_{i=1}^n \dot q_i  p_i - L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t),

waaruit de afhankelijkheid van \dot q_i nog weggewerkt moet worden.
Vervolgens wordt uitgegaan van de totale differentiaal van deze versie van de Hamiltoniaan:

dH = \sum_{i=1}^n(d(\dot q_i p_i) - dL.

Daarin wordt de productregel toegepast op de term \dot q_i p_i en wordt de totale differentiaal voor L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t) uitgeschreven:

\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(p_i\,\mathrm{d}\dot q_i + \dot q_i\,\mathrm{d}p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\mathrm{d}q_i - \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\mathrm{d}\dot q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,\mathrm{d}t.

Uit deze uitdrukking kunnen de differentiaal van en de afgeleide naar \dot q_i weggewerkt worden door gebruik te maken van de definitie van p_i (ii) en van de herschreven versie van de Euler-Lagrange vergelijkingen (iii):

\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(\dot q_i\,\mathrm{d}p_i - \dot p_i\,\mathrm{d}q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,\mathrm{d}t. (iv)

dH is nu uitgedrukt in differentialen van q_i, p_i en t. Omdat \dot q_i mag opgevat worden als een functie van p_i, is H hiermee nu geheel afhankelijk van q_i, p_i en t.
Omdat de gegeneraliseerde plaats en impuls voor verschillende vrijheidsgraden i van elkaar onafhankelijk zijn, kunnen van de algemene definitie van de totale differentiaal van H als functie van p, q en t:

\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\,\mathrm{d}p_i + \frac{\partial H}{\partial q_i}\,\mathrm{d} q_i\right) + \frac{\partial H}{\partial t}\,\mathrm{d}t

de coëfficiënten van de differentialen dp, dq en dt voor elke vrijheidsgraad i afzonderlijk gelijkgesteld worden met die van de zojuist afgeleide uitdrukking (iv) voor dH. Uit die gelijkstellingen volgen dan de vergelijkingen van Hamilton, ook wel de kanonieke bewegingsvergelijkingen genoemd:

\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\qquad(i=1,2,\ldots,n).;

en de tijdsafgeleide van H zelf is gelijk aan

\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}.

In een conservatief systeem, waarin geen kinetische of potentiële energie verloren gaat aan wrijving, is

\frac{\partial H}{\partial t}=0

In dat geval zijn H en L bewegingsconstanten van het systeem. De ruimte die wordt beschreven met gegeneraliseerde plaatscoördinaten en impulscoördinaten wordt een faseruimte genoemd, die o.a. in de statistische mechanica een centrale rol speelt. De deelruimte met alleen impulscoördinaten, die alleen de bewegingstoestand van een systeem beschrijven, wordt impulsruimte genoemd.

Veralgemening[bewerken]

De symplectische meetkunde bestudeert symplectische variëteiten, dit zijn al dan niet gekromde ruimten waarin de bewegingsvergelijkingen in de meetkundige structuur vervat liggen. De coördinaten in de omgeving van een punt van een dergelijke ruimte vormen een combinatie van de plaatscoördinaten qi en de impulscoördinaten pi.

Literatuur[bewerken]

  • (en) Corben, H.C. and Philip Stehle (1994): Classical Mechanics, 2nd edition, Dover Publications, New York, Chapter 10.

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) LaValle, Steven M., , Hamiltonian mechanics hfdst §13.4.4, Planning Algorithms, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86205-9, 2006.