Residustelling

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de residustelling, ook wel de Cauchy-residustelling, een krachtig instrument om lijnintegralen van analytische functies over gesloten krommen te evalueren. De residustelling kan ook vaak worden gebruikt om reële integralen te berekenen. De residustelling veralgemeent de integraalstelling van Cauchy- en de integraalformule van Cauchy. Vanuit een meetkundig perspectief is de residustelling een speciaal geval van de algemene stelling van Stokes.

Stelling

Illustratie van de stelling

Laat $U\subseteq \mathbb {C}$ enkelvoudig samenhangend zijn, en $f$ een holomorfe functie op $U$ zijn, behalve in een discreet deel $U_{f}$ van $U$. Voor de wegintegraal over de gesloten kromme $\Gamma \subset U\setminus U_{f}$ geldt:

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }f(z){\rm {d}}z=\sum _{a\in U_{f}}m_{\Gamma }(a){\rm {Res}}(f,a)$.

Daarin is $m_{\Gamma }(a)$ het aantal keren dat de kromme $\Gamma$ om het punt $a$ heen draait, en ${\rm {Res}}(f,a)$ het residu van $f$ in $a$.

Externe links

• (en) Residustelling op MathWorld
• (en) Residustellingmodule door John H. Mathews