Ruimtemeetkunde

De ruimtemeetkunde of stereometrie veralgemeent begrippen uit de klassieke, vlakke meetkunde tot structuren met meer dan twee dimensies. Aanvankelijk wordt vooral de driedimensionale Euclidische ruimte bestudeerd, waarvoor de $\mathbb {R} ^{3}$ model staat.

Basisbegrippen

Elementen van de $\mathbb {R} ^{n}$ heten punten. Een rechte is een lineaire variëteit van een eendimensionale deelruimte van $\mathbb {R} ^{n}$. Een hypervlak is een lineaire variëteit van een deelruimte met codimensie een, en dus dimensie $n-1$. Als $n=3$, noemt men een hypervlak gewoonweg een vlak.

De onderlinge stand van twee verschillende rechten kan, behalve snijdend en parallel, ook kruisend zijn. Dat wil zeggen dat de twee rechten lineaire variëteiten zijn van verschillende eendimensionale deelruimten (een verschillende richting hebben), en disjunct zijn (geen enkel punt gemeen hebben).

De Euclidische structuur krijgt men door het invoeren van een scalair product. Daarmee wordt de $\mathbb {R} ^{n}$ een reële Hilbertruimte. De afstand tussen twee punten is de lengte van hun verschilvector.

Twee vectoren verschillend van nul, heten onderling loodrecht als hun scalaire product nul is. Twee deelruimten (en hun nevenklassen) zijn loodrecht als hun vectoren twee aan twee loodrecht zijn.

Elementaire stellingen

Tussen een rechte/hypervlak/andersdimensionale lineaire variëteit en een punt dat er niet toe behoort, bestaat precies één verbindingsrechte, loodlijn genaamd, die loodrecht op de op die lineaire variëteit staat. De loodlijn meet de kortste afstand tussen het punt en de lineaire variëteit.

Twee kruisende rechten in de $\mathbb {R} ^{3}$ worden gesneden door precies één gemeenschappelijke loodlijn.

Externe link

• Wikiboek: Analytische ruimtemeetkunde aan de hand van vectoren