Imaginaire eenheid

Binnen de wiskunde is de imaginaire eenheid, aangeduid met i (binnen de elektrotechniek aangeduid met j), een speciaal complex getal waarvoor per definitie geldt:

$i^{2}=-1\,$.

Door de invoering van de imaginaire eenheid is het mogelijk gebleken ook aan wortels van vergelijkingen als $x^{2}=-1$ een betekenis te geven. De verzameling van de reële getallen wordt zo uitgebreid tot de verzameling van de complexe getallen.

De behoefte aan uitbreiding ontstaat onder meer vanuit het gegeven dat niet elke polynomiale vergelijking van de graad n binnen de verzameling van de reële getallen n oplossingen heeft. Binnen de complexe getallen is dit wel het geval (hoewel oplossingen wel met elkaar samen kunnen vallen), zie de hoofdstelling van de algebra.

De vergelijking $x^{2}=-1$ is van de graad 2, en heeft dus 2 oplossingen. Per definitie is $x=i$ een oplossing, en bijgevolg ook $x=-i$.

Quaternionen

Soms zegt men dat deze vergelijking nog meer oplossingen heeft, Men definieert naast de imaginaire eenheid i de speciale quaternionen j en k, verschillend van elkaar en van i, waarvan het kwadraat eveneens gelijk is aan -1.

Opmerking

De imaginaire eenheid wordt soms genoteerd als ${\sqrt {-1}}$, wat alleen correct is als daarmee de hoofdwaarde van de complexe wortel bedoeld wordt, en wat zeker niet als definitie van i kan fungeren. De rekenregels die gelden voor de vierkantswortel zijn alleen gedefinieerd voor positieve getallen (en nul). Als (ten onrechte) een dergelijke rekenregel zou worden toegepast voor a = -1, dan kan het volgende 'bewijs' worden geconstrueerd:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1$

De fout ontstaat door de toepassing van de rekenregel

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$.

Deze regel geldt echter niet voor negatieve a en b; immers ${\sqrt {-1}}\!$ is binnen het domein van de reële getallen niet gedefinieerd.

Zie ook bij complex getal voor de tegenspraken die ontstaan als de grens van het wiskundige domein van de reële wortelfunctie (nl.: >= 0) veronachtzaamd wordt. Zie verder ook wortel voor definities van wortels voor complexe getallen en quaternionen.

De imaginaire eenheid en de formule van Euler

Als we in de formule van Euler

$e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}\,$,

voor x substitueren π/2, dan ontstaat

$e^{\frac {i\pi }{2}}=i\,$

Als beide kanten tot de macht i worden verheven, en we gebruikmaken van de formule

$i^{2}=-1\,$,

dan krijgen we:

$i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}2078795763\dots \,$