Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lichaamsuitbreiding (Nederlands) of velduitbreiding (Belgisch) van een lichaam / veld $K$, in het vervolg kort uitbreiding van $K$ genoemd, ieder lichaam / veld $L$ waarvan $K$ een (strikt) deellichaam is. Een uitbreiding van het lichaam / veld $K$ wordt verkregen door aan $K$ een of meer nieuwe elementen toe te voegen. Men noteert de uitbreiding als $L/K$, of ook wel als $L|K$, $L\colon K$ of $(L,K).$ Als L uit K ontstaat door daar de elementen $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ aan toe te voegen, schrijft men voor de uitbreiding $K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}).$

Zo vormen de complexe getallen $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i)$ een uitbreiding van de reële getallen $\mathbb {R}$ door daaraan als nieuw element de imaginaire eenheid $i$ toe te voegen. In $\mathbb {R}$ heeft de vergelijking x² + 1 = 0 geen oplossingen. Voegt men echter een nieuw element toe, de imaginaire eenheid i, die is gedefinieerd als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens ook alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een lichaam/veld te vormen, dan verkrijgt men het lichaam/veld $\mathbb {C}$ van de complexe getallen. Een gevolg van de hoofdstelling van de algebra is, dat alle oplossingen van een algebraïsche vergelijking in $\mathbb {C}$ liggen.

De graad van een uitbreiding is de dimensie van de uitbreiding als vectorruimte over het oorspronkelijke lichaam/veld.

Het principe van de uitbreidingen kan naar ringuitbreidingen worden uitgebreid, op te vatten als een ring en een van haar deelringen.

Normale uitbreiding

Een algebraïsche uitbreiding $L/K$ heet normaal, als elke irreducibele polynoom in $K[X]$ die een wortel heeft in $L$ geheel gefactoriseerd kan worden in lineaire factoren over $L$. Elke algebraïsche uitbreiding $F/K$ heeft een normale afsluiting $L$ die een lichaamsuitbreiding is van $F$ zodat $L/K$ normaal is en die de kleinsre is met deze eigenschap.