Stelling van Cayley-Hamilton

De stelling van Cayley-Hamilton (vernoemd naar Arthur Cayley en William Hamilton) uit de lineaire algebra stelt dat elke vierkante reële of complexe $n\times n$-matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking, die gevormd wordt door het nulstellen van de karakteristieke polynoom.

De karakteristieke polynoom van een $n\times n$-matrix $A$ is gedefinieerd als

$p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)~,$

De stelling van Cayley-Hamilton zegt dat

$p_{A}(A)=0,$

waarbij de machten van $A$ gedefinieerd worden als herhaalde matrixvermenigvuldiging en de constante term als veelvoud van de eenheidsmatrix. De 0 in de uitdrukking is de nulmatrix.

Voorbeeld

Van de matrix

$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$.

is de karakteristieke polynoom gegeven door

$p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{2}-A)=\det {\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2~.$

"Substitutie" van $A$ voor $\lambda$ geeft

$p_{A}(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.$